関数 $y = x^2 \cos 2x$ を微分した $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 \cos 2x$ を微分した $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を利用します。ここで、$u = x^2$ 、$v = \cos 2x$ とおきます。

まず、$u = x^2$ の微分は

$u' = 2x$

次に、$v = \cos 2x$ の微分は、$2x$ を $t$ とおくと $v = \cos t$ より、合成関数の微分公式を使って、

$v' = \frac{dv}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = -\sin t \cdot 2 = -2 \sin 2x$

したがって、$y = x^2 \cos 2x$ の微分は、

$y' = (x^2)' \cos 2x + x^2 (\cos 2x)' = 2x \cos 2x + x^2 (-2 \sin 2x) = 2x \cos 2x - 2x^2 \sin 2x$

これを $2x$ でくくると、

$y' = 2x (\cos 2x - x \sin 2x)$

3. 最終的な答え

$y' = 2x (\cos 2x - x \sin 2x)$

選択肢５が正しいです。