## 問題３

## 問題３

### (1) 以下の問いに答えよ。

(1-a) あみだくじで表される置換 $\sigma$ を巡回表示する。

(1-b) 置換 $\sigma$ の符号 $\epsilon(\sigma)$ を求める。

(1-c) $\sigma \circ \tau = (1)$ を満たす置換 $\tau$ を $\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ * & * & * & * & * \end{array} \right)$ の形式で与える。

(1-d) 置換 $\varphi = (3,4) \circ (1,2) \circ (2,5) \circ (1,3)$ のとき、$\varphi \circ \varphi$ を $\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ * & * & * & * & * \end{array} \right)$ の形式で与える。

### (2)

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a & b & -b \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3+2a & a & 6-2b \\ 3 & -5+3a & -2 & -4-3b \end{pmatrix}$ の行列式を第2行での余因子展開により求める。

## 解き方の手順

### (1)

(1-a) あみだくじをたどると、

1 → 1

2 → 3

3 → 2

4 → 5

5 → 4

となる。したがって、置換 $\sigma$ は $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 & 5 & 4 \end{pmatrix}$ と表される。巡回置換で表すと、$\sigma = (2,3)(4,5)$ である。

(1-b) $\sigma = (2,3)(4,5)$ は互換2つの積なので、$\epsilon(\sigma) = (-1)^2 = 1$ となる。

(1-c) $\sigma \circ \tau = (1)$ より、$\tau = \sigma^{-1}$ である。$\sigma = (2,3)(4,5)$ より、$\sigma^{-1} = (2,3)(4,5)$ である。したがって、$\tau = (2,3)(4,5) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 & 5 & 4 \end{pmatrix}$ である。

$\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 & 5 & 4 \end{pmatrix}$

(1-d) $\varphi = (3,4) \circ (1,2) \circ (2,5) \circ (1,3)$ について、

$\varphi(1) = (3,4)(1,2)(2,5)(1,3)(1) = (3,4)(1,2)(2,5)(3) = (3,4)(1,2)(3) = (3,4)(3) = 4$

$\varphi(2) = (3,4)(1,2)(2,5)(1,3)(2) = (3,4)(1,2)(2,5)(2) = (3,4)(1,2)(5) = (3,4)(5) = 5$

$\varphi(3) = (3,4)(1,2)(2,5)(1,3)(3) = (3,4)(1,2)(2,5)(1) = (3,4)(1,2)(1) = (3,4)(2) = 2$

$\varphi(4) = (3,4)(1,2)(2,5)(1,3)(4) = (3,4)(1,2)(2,5)(4) = (3,4)(1,2)(4) = (3,4)(4) = 3$

$\varphi(5) = (3,4)(1,2)(2,5)(1,3)(5) = (3,4)(1,2)(2,5)(5) = (3,4)(1,2)(2) = (3,4)(1) = 1$

したがって、$\varphi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ である。

$\varphi \circ \varphi(1) = \varphi(4) = 3$

$\varphi \circ \varphi(2) = \varphi(5) = 1$

$\varphi \circ \varphi(3) = \varphi(2) = 5$

$\varphi \circ \varphi(4) = \varphi(3) = 2$

$\varphi \circ \varphi(5) = \varphi(1) = 4$

$\varphi \circ \varphi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 1 & 5 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

### (2)

行列式を第2行で余因子展開すると、

$|A| = (-1)^{2+1} \cdot 0 \cdot M_{21} + (-1)^{2+2} \cdot 0 \cdot M_{22} + (-1)^{2+3} \cdot 1 \cdot M_{23} + (-1)^{2+4} \cdot 0 \cdot M_{24}$

$= - M_{23}$

ここで、$M_{23}$ は第2行と第3列を取り除いた行列の行列式である。

$M_{23} = \begin{vmatrix} 1 & a & -b \\ 2 & 3+2a & 6-2b \\ 3 & -5+3a & -4-3b \end{vmatrix}$

$M_{23} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3+2a & 6-2b \\ -5+3a & -4-3b \end{vmatrix} - a \cdot \begin{vmatrix} 2 & 6-2b \\ 3 & -4-3b \end{vmatrix} - b \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3+2a \\ 3 & -5+3a \end{vmatrix}$

$= (3+2a)(-4-3b) - (6-2b)(-5+3a) - a[2(-4-3b) - 3(6-2b)] - b[2(-5+3a) - 3(3+2a)]$

$= -12-9b-8a-6ab - (-30+18a+10b-6ab) - a(-8-6b-18+6b) - b(-10+6a-9-6a)$

$= -12-9b-8a-6ab + 30 - 18a - 10b + 6ab - a(-26) - b(-19)$

$= 18-19b-26a + 26a + 19b$

$= 18$

したがって、$|A| = -M_{23} = -18$

## 最終的な答え

(1-a) $\sigma = (2,3)(4,5)$

(1-b) $\epsilon(\sigma) = 1$

(1-c) $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 & 5 & 4 \end{pmatrix}$

(1-d) $\varphi \circ \varphi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 1 & 5 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $|A| = -18$