点Iは三角形ABCの内心であり、$∠ABC = 68^\circ$, $∠BCI = 24^\circ$であるとき、$∠P$を求める問題です。

1. 問題の内容

点Iは三角形ABCの内心であり、$∠ABC = 68^\circ$, $∠BCI = 24^\circ$であるとき、$∠P$を求める問題です。

2. 解き方の手順

内心は、三角形の各内角の二等分線の交点です。

したがって、$∠IBC = ∠BCI = 24^\circ$であり、

$∠ACB = 2 \times ∠BCI = 2 \times 24^\circ = 48^\circ$となります。

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$∠BAC$は

$∠BAC = 180^\circ - ∠ABC - ∠ACB = 180^\circ - 68^\circ - 48^\circ = 64^\circ$

となります。

また、点Iは内心なので、AIは$∠BAC$の二等分線であり、

$∠BAI = ∠BAC / 2 = 64^\circ / 2 = 32^\circ$

となります。

三角形ABIにおいて、

$∠AIB = 180^\circ - ∠BAI - ∠ABI = 180^\circ - 32^\circ - 68^\circ = 80^\circ$

次に$∠BIC = 180^\circ - ∠IBC - ∠ICB = 180^\circ - 34^\circ - 24^\circ = 122^\circ$

$∠P$ は $∠AIC$と等しいので、 $∠AIC= 180^\circ - ∠IAC -∠ICA$。

$∠IAC = ∠BAC / 2 = 64^\circ / 2 = 32^\circ$.

$∠ICA = ∠BCA / 2 = 48^\circ / 2 = 24^\circ$.

$∠AIC = 180^\circ - 32^\circ - 24^\circ = 124^\circ$.

よって、$∠AIB = 80^\circ$, $∠BIC = 122^\circ$, $∠AIC = 124^\circ$.

内心Iは、三角形ABCの内角の二等分線の交点なので、$∠ABI = ∠IBC$ と $∠ACI = ∠ICB$ が成り立つ。

問題より、$∠ABC = 68^\circ$, $∠BCI = 24^\circ$なので、$∠ABI = ∠IBC = 68^\circ / 2 = 34^\circ$と$∠ACI = ∠ICB = 24^\circ$である。

三角形BCIに着目すると、$∠BIC = 180^\circ - (∠IBC + ∠ICB) = 180^\circ - (34^\circ + 24^\circ) = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$ となる。

$∠P=∠BIC$

3. 最終的な答え

122