問題は2つあり、それぞれ以下の通りです。 1. 行列 $ \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} $ の逆行列を求める。

## 問題の解答

1. **問題の内容**

問題は2つあり、それぞれ以下の通りです。

1. 行列

$$

\begin{pmatrix}

0 & 0 & -1 \\

1 & 0 & -1 \\

0 & 1 & -1

\end{pmatrix}

$

の逆行列を求める。

2. 行列

$$

A = \begin{pmatrix}

1 & 3 & 1 & 2 \\

2 & 6 & 4 & 8 \\

0 & 0 & 2 & 4

\end{pmatrix}

$

について、以下の問いに答える。

(1) A の階数 (rank) を求める。

(2) 斉次連立一次方程式 $Ax = 0$ の解の自由度を求める。

(3) 斉次連立一次方程式 $Ax = 0$ の一般解を求める。

(4) 連立一次方程式 $Ax = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ b \end{pmatrix}$ の解が存在する $b$ の条件を求める。

(5) 連立一次方程式 $Ax = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ b \end{pmatrix}$ が (4) の条件を満たすとき、この連立一次方程式の一般解を求める。

2. **解き方の手順**

3. 逆行列の計算

行列を $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ とおく。逆行列を求めるために、拡大行列 $(B | I)$ を作り、基本変形を行う。ここで、$I$ は3x3の単位行列である。

$

\begin{pmatrix}

0 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\

1 & 0 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$

1行目と2行目を入れ替える。

$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$

2行目と3行目を入れ替える。

$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$

3行目を-1倍する。

$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & | & -1 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$

1行目に3行目を足す。

$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & | & -1 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$

2行目に3行目を足す。

$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\

0 & 1 & 0 & | & -1 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & | & -1 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$

したがって、逆行列は

$

B^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

$

4. 行列 A に関する問題

(1) A の階数 (rank) を求める。

$A$ を簡約化する。2行目から1行目の2倍を引く。

$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 2 & 4 \\

0 & 0 & 2 & 4

\end{pmatrix}

$

3行目から2行目を引く。

$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 2 & 4 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$

2行目を1/2倍する。

$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$

1行目から2行目を引く。

$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$

したがって、A の階数は2である。

(2) 斉次連立一次方程式 $Ax = 0$ の解の自由度を求める。

解の自由度は (変数の数) - (階数) = 4 - 2 = 2。

(3) 斉次連立一次方程式 $Ax = 0$ の一般解を求める。

簡約化された行列から、

$x_1 + 3x_2 = 0$

$x_3 + 2x_4 = 0$

したがって、

$x_1 = -3x_2$

$x_3 = -2x_4$

$x_2 = s$, $x_4 = t$ とおくと、

$x = \begin{pmatrix} -3s \\ s \\ -2t \\ t \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

(4) 連立一次方程式 $Ax = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ b \end{pmatrix}$ の解が存在する $b$ の条件を求める。

拡大行列を作り簡約化する。

$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & 1 & 2 & | & 1 \\

2 & 6 & 4 & 8 & | & 3 \\

0 & 0 & 2 & 4 & | & b

\end{pmatrix}

$

2行目から1行目の2倍を引く。

$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & 1 & 2 & | & 1 \\

0 & 0 & 2 & 4 & | & 1 \\

0 & 0 & 2 & 4 & | & b

\end{pmatrix}

$

3行目から2行目を引く。

$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & 1 & 2 & | & 1 \\

0 & 0 & 2 & 4 & | & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & b-1

\end{pmatrix}

$

解が存在するための条件は $b - 1 = 0$。したがって、$b = 1$。

(5) 連立一次方程式 $Ax = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ b \end{pmatrix}$ が (4) の条件を満たすとき、この連立一次方程式の一般解を求める。

$b = 1$ なので、

$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & 1 & 2 & | & 1 \\

0 & 0 & 2 & 4 & | & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

\end{pmatrix}

$

2行目を1/2倍する。

$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & 1 & 2 & | & 1 \\

0 & 0 & 1 & 2 & | & 1/2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

\end{pmatrix}

$

1行目から2行目を引く。

$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & 0 & 0 & | & 1/2 \\

0 & 0 & 1 & 2 & | & 1/2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

\end{pmatrix}

$

$x_1 + 3x_2 = \frac{1}{2}$

$x_3 + 2x_4 = \frac{1}{2}$

$x_1 = \frac{1}{2} - 3x_2$

$x_3 = \frac{1}{2} - 2x_4$

$x_2 = s$, $x_4 = t$ とおくと、

$x = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} - 3s \\ s \\ \frac{1}{2} - 2t \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 1/2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. **最終的な答え**

4. $

\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

$

5. (1) 2

(2) 2

(3) $x = s \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

(4) $b = 1$

(5) $x = \begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 1/2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$