(1) (1-a) あみだくじで表される置換 $\sigma$ を巡回置換で表す。 (1-b) 置換 $\sigma$ の符号 $\epsilon(\sigma)$ を求める。 (1-c) $\sigma \circ \tau = (1)$ を満たす置換 $\tau$ を求める。ここで $(1)$ は恒等置換を表す。 (1-d) 置換 $\varphi = (3,4) \circ (1,2) \circ (2,5) \circ (1,3)$ について、$\varphi \circ \sigma \circ \sigma$ を求める。 (2) $a, b$ を実数とするとき、行列 $A$ の行列式を第2行での余因子展開により求める。 $A = \begin{pmatrix} 1 & a & b & -b \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3+2a & a & 6-2b \\ 3 & -5+3a & -2 & -4-3b \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

(1)

(1-a) あみだくじで表される置換 $\sigma$ を巡回置換で表す。

(1-b) 置換 $\sigma$ の符号 $\epsilon(\sigma)$ を求める。

(1-c) $\sigma \circ \tau = (1)$ を満たす置換 $\tau$ を求める。ここで $(1)$ は恒等置換を表す。

(1-d) 置換 $\varphi = (3,4) \circ (1,2) \circ (2,5) \circ (1,3)$ について、$\varphi \circ \sigma \circ \sigma$ を求める。

(2) $a, b$ を実数とするとき、行列 $A$ の行列式を第2行での余因子展開により求める。

$A = \begin{pmatrix}

1 & a & b & -b \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

2 & 3+2a & a & 6-2b \\

3 & -5+3a & -2 & -4-3b

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1-a) あみだくじをたどる。

1 -> 1

2 -> 3

3 -> 2

4 -> 4

5 -> 5

したがって、置換 $\sigma$ は (2 3) と表せる。

(1-b) $\sigma = (2 3)$ は互換なので、$\epsilon(\sigma) = -1$

(1-c) $\sigma \circ \tau = (1)$ より、$\tau = \sigma^{-1}$ となる。$\sigma = (2 3)$ なので、$\sigma^{-1} = (2 3)$ である。

したがって、$\tau = (2 3)$ であり、これは

$\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

と表せる。

(1-d) まず $\varphi = (3,4) \circ (1,2) \circ (2,5) \circ (1,3)$ を計算する。

$\varphi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

$\sigma = (2 3) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

$\varphi \circ \sigma \circ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 & 4 & 5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(2)

$A = \begin{pmatrix}

1 & a & b & -b \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

2 & 3+2a & a & 6-2b \\

3 & -5+3a & -2 & -4-3b

\end{pmatrix}$

第2行での余因子展開により、

$\det(A) = 0 \cdot C_{21} + 0 \cdot C_{22} + 1 \cdot C_{23} + 0 \cdot C_{24} = C_{23}$

ここで $C_{23}$ は (2,3) 余因子である。

$C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = - M_{23}$

$M_{23} = \begin{vmatrix}

1 & a & -b \\

2 & 3+2a & 6-2b \\

3 & -5+3a & -4-3b

\end{vmatrix}$

$M_{23} = 1((3+2a)(-4-3b) - (6-2b)(-5+3a)) - a(2(-4-3b) - 3(6-2b)) -b(2(-5+3a) - 3(3+2a))$

$= 1(-12 - 9b - 8a - 6ab + 30 - 18a + 10b - 6ab) - a(-8 - 6b - 18 + 6b) - b(-10 + 6a - 9 - 6a)$

$= 1(18 - 26a + b - 12ab) - a(-26) - b(-19)$

$= 18 - 26a + b - 12ab + 26a + 19b$

$= 18 + 20b - 12ab$

したがって、$\det(A) = -M_{23} = -18 - 20b + 12ab$

3. 最終的な答え

(1-a) (2 3)

(1-b) -1

(1-c) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

(1-d) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $\det(A) = -18 - 20b + 12ab$