以下の4つの問題について解答します。 17. 多項式 $A = 2x^3 + 7x^2 - 2x + 9$ を多項式 $B = x + 4$ で割ったときの商 $Q$ と余り $R$ を求め、$A = BQ + R$ の形で表す。 18. 多項式 $P(x) = x^3 - 2x^2 + 3$ について、$P(1)$, $P(2)$, $P(-1)$ を求める。 19. 多項式 $P(x) = x^3 + 3x + 2$ を一次式 $x-1$ および $x+2$ で割ったときの余りを求める。 20. 多項式 $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ の因数であるものを $x-1$, $x+1$, $x-2$, $x+2$ の中からすべて選ぶ。

1. 問題の内容

以下の4つの問題について解答します。

1

7. 多項式 $A = 2x^3 + 7x^2 - 2x + 9$ を多項式 $B = x + 4$ で割ったときの商 $Q$ と余り $R$ を求め、$A = BQ + R$ の形で表す。

1

8. 多項式 $P(x) = x^3 - 2x^2 + 3$ について、$P(1)$, $P(2)$, $P(-1)$ を求める。

1

9. 多項式 $P(x) = x^3 + 3x + 2$ を一次式 $x-1$ および $x+2$ で割ったときの余りを求める。

2

0. 多項式 $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ の因数であるものを $x-1$, $x+1$, $x-2$, $x+2$ の中からすべて選ぶ。

2. 解き方の手順

1

7. 多項式の割り算を実行する。

$A$ を $B$ で割ると、

$2x^3 + 7x^2 - 2x + 9 = (x+4)(2x^2 - x + 2) + 1$

したがって、$Q = 2x^2 - x + 2$、$R = 1$

$A = BQ + R$ の形で表すと、

$2x^3 + 7x^2 - 2x + 9 = (x+4)(2x^2 - x + 2) + 1$

1

8. それぞれの値を代入して計算する。

$P(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$

$P(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + 3 = 8 - 8 + 3 = 3$

$P(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + 3 = -1 - 2 + 3 = 0$

1

9. 剰余の定理を用いる。

$P(x)$ を $x-1$ で割った余りは $P(1)$。

$P(1) = (1)^3 + 3(1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6$

$P(x)$ を $x+2$ で割った余りは $P(-2)$。

$P(-2) = (-2)^3 + 3(-2) + 2 = -8 - 6 + 2 = -12$

2

0. 因数定理を用いる。$P(a) = 0$ ならば $x-a$ は $P(x)$ の因数である。

$P(1) = (1)^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$

$P(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - 5(-1) + 6 = -1 - 2 + 5 + 6 = 8$

$P(2) = (2)^3 - 2(2)^2 - 5(2) + 6 = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$

$P(-2) = (-2)^3 - 2(-2)^2 - 5(-2) + 6 = -8 - 8 + 10 + 6 = 0$

よって、$x-1$ と $x+2$ が $P(x)$ の因数である。

3. 最終的な答え

1

7. $Q = 2x^2 - x + 2$, $R = 1$, $A = (x+4)(2x^2 - x + 2) + 1$

1

8. $P(1) = 2$, $P(2) = 3$, $P(-1) = 0$

1

9. $x-1$ で割った余りは 6, $x+2$ で割った余りは -12

2

0. $x-1$ と $x+2$