3点$(-1, -5)$, $(2, 1)$, $(1, 1)$を通る放物線の方程式を求めよ。ただし、放物線の式は$y = -x^2 + ax - b$の形で与えられている。

1. 問題の内容

3点$(-1, -5)$, $(2, 1)$, $(1, 1)$を通る放物線の方程式を求めよ。ただし、放物線の式は$y = -x^2 + ax - b$の形で与えられている。

2. 解き方の手順

3点の座標を$y = -x^2 + ax - b$に代入し、$a$と$b$に関する連立方程式を立てて解きます。

* 点$(-1, -5)$を代入:

$-5 = -(-1)^2 + a(-1) - b$

$-5 = -1 - a - b$

$a + b = 4$ ...(1)

* 点$(2, 1)$を代入:

$1 = -(2)^2 + a(2) - b$

$1 = -4 + 2a - b$

$2a - b = 5$ ...(2)

* 点$(1, 1)$を代入:

$1 = -(1)^2 + a(1) - b$

$1 = -1 + a - b$

$a - b = 2$ ...(3)

(2)と(3)の連立方程式を解く:

$2a - b = 5$

$a - b = 2$

(2) - (3):

$a = 3$

$a = 3$を(3)に代入:

$3 - b = 2$

$b = 1$

念のため、(1)式に代入して確認：

$3 + 1 = 4$　となり正しい。

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 1$

したがって、放物線の方程式は$y = -x^2 + 3x - 1$です。