2次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフが3点 $(-1, 1)$, $(0, -1)$, $(1, 2)$ を通るとき、このグラフの頂点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフが3点 $(-1, 1)$, $(0, -1)$, $(1, 2)$ を通るとき、このグラフの頂点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3点の座標を2次関数の式に代入して、a, b, c に関する連立方程式を作る。

点 $(-1, 1)$ を代入すると、

$1 = a(-1)^2 + b(-1) + c$

$1 = a - b + c$ ...(1)

点 $(0, -1)$ を代入すると、

$-1 = a(0)^2 + b(0) + c$

$c = -1$ ...(2)

点 $(1, 2)$ を代入すると、

$2 = a(1)^2 + b(1) + c$

$2 = a + b + c$ ...(3)

式 (2) より $c = -1$ であるから、これを式 (1) と (3) に代入する。

式 (1) は $1 = a - b - 1$ となり、$a - b = 2$ ...(4)

式 (3) は $2 = a + b - 1$ となり、$a + b = 3$ ...(5)

式 (4) と (5) の連立方程式を解く。

(4) + (5) より $2a = 5$, よって $a = \frac{5}{2}$.

(5) - (4) より $2b = 1$, よって $b = \frac{1}{2}$.

したがって、$a = \frac{5}{2}$, $b = \frac{1}{2}$, $c = -1$.

2次関数の式は $y = \frac{5}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1$ となる。

次に、平方完成して頂点の座標を求める。

$y = \frac{5}{2}(x^2 + \frac{1}{5}x) - 1$

$y = \frac{5}{2}(x^2 + \frac{1}{5}x + (\frac{1}{10})^2 - (\frac{1}{10})^2) - 1$

$y = \frac{5}{2}((x + \frac{1}{10})^2 - \frac{1}{100}) - 1$

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{100} - 1$

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{1}{40} - 1$

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{41}{40}$

よって、頂点の座標は $(-\frac{1}{10}, -\frac{41}{40})$.

3. 最終的な答え

頂点の座標は $(-\frac{1}{10}, -\frac{41}{40})$