(1) 行列式 $ \begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix} $ を因数分解する。 (2) 方程式 $ \begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0 $ を解く。

1. 問題の内容

(1) 行列式

$\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix}$

を因数分解する。

(2) 方程式

$\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

を解く。

2. 解き方の手順

(1) 行列式の因数分解

与えられた行列式を$D$とする。

$D = \begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix}$

第3列に第1列を加える。

$D = \begin{vmatrix} a & a^2 & a+b+c \\ b & b^2 & a+b+c \\ c & c^2 & a+b+c \end{vmatrix}$

第3列から$a+b+c$をくくり出す。

$D = (a+b+c) \begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{vmatrix}$

第1行を第2行、第3行から引く。

$D = (a+b+c) \begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ b-a & b^2-a^2 & 0 \\ c-a & c^2-a^2 & 0 \end{vmatrix}$

第2行から$b-a$、第3行から$c-a$をくくり出す。

$D = (a+b+c)(b-a)(c-a) \begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ 1 & b+a & 0 \\ 1 & c+a & 0 \end{vmatrix}$

$D = (a+b+c)(b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & b+a \\ 1 & c+a \end{vmatrix}$

$D = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c+a - b - a)$

$D = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)$

$D = -(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) 方程式を解く

与えられた行列式を$D$とする。

$D = \begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix}$

第1列に第2, 3, 4列を加える。

$D = \begin{vmatrix} x+1 & 1 & 1 & 0 \\ x+1 & x-1 & 0 & 1 \\ x+1 & 0 & x-1 & 1 \\ x+1 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix}$

第1列から$x+1$をくくり出す。

$D = (x+1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix}$

第2, 3, 4行から第1行を引く。

$D = (x+1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & x-2 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & x-2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix}$

第4行から第2, 3行を引くことはできない。

$D = (x+1) \begin{vmatrix} x-2 & -1 & 1 \\ -1 & x-2 & 1 \\ 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix}$

さらに計算を行う。

$D = (x+1)(x-1) \begin{vmatrix} x-2 & -1 \\ -1 & x-2 \end{vmatrix}$

$D = (x+1)(x-1)((x-2)^2 - 1)$

$D = (x+1)(x-1)(x^2 - 4x + 4 - 1)$

$D = (x+1)(x-1)(x^2 - 4x + 3)$

$D = (x+1)(x-1)(x-1)(x-3)$

$D = (x+1)(x-1)^2(x-3)$

$D = 0$より、$x = -1, 1, 3$

3. 最終的な答え

(1) $-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $x = -1, 1, 3$