三角形ABCにおいて、点Iは内心であり、$\angle BAC = 66^\circ$、$\angle ICA = 22^\circ$であるとき、$\angle P$の大きさを求める問題です。ここで点Pは内接円と辺BCとの接点です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Iは内心であり、$\angle BAC = 66^\circ$、$\angle ICA = 22^\circ$であるとき、$\angle P$の大きさを求める問題です。ここで点Pは内接円と辺BCとの接点です。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は $180^\circ$ であることを利用します。

$\angle ABC$ の大きさを求める必要があります。

$\angle ACB = 2 \times \angle ICA = 2 \times 22^\circ = 44^\circ$ です。

なぜなら、内心Iは角の二等分線の交点だからです。

三角形ABCにおいて、$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$ より、

$66^\circ + \angle ABC + 44^\circ = 180^\circ$

$\angle ABC = 180^\circ - 66^\circ - 44^\circ = 70^\circ$

次に、三角形の内接円の性質から、内接円の中心から接点に向かう線分は、その接点がある辺に対して垂直になります。

したがって、$\angle IPC = 90^\circ$です。

なぜなら、点Pは内接円と辺BCとの接点だからです。

また、内心は角の二等分線の交点なので、$\angle IBC = \angle ABC / 2 = 70^\circ / 2 = 35^\circ$ です。

三角形BIPにおいて、$\angle BIP = 180^\circ - \angle IBP - \angle IPB$が成り立ちます。

$\angle IPB = \angle IPC$です。

したがって、

$\angle IPB = 90^\circ$ です。

よって、$\angle BIP = 180^\circ - 35^\circ - 90^\circ = 55^\circ$です。

$\angle P = \angle BIC$について考えます。

$\angle BIC = 180^\circ - \angle IBC - \angle ICB = 180^\circ - 35^\circ - 22^\circ = 123^\circ$

内接円を持つ三角形において、$\angle BIC = 90^\circ + \frac{\angle BAC}{2}$ が成立します。

$\angle BIC = 90^\circ + \frac{66^\circ}{2} = 90^\circ + 33^\circ = 123^\circ$

問題文から$\angle P = \angle BIC$と判断できます。

3. 最終的な答え

123°