与えられた多項式を因数分解する問題です。 多項式は $4a^3b^2 - 4a^3c^2 + 4c^3a^2 - 4b^2c^3 + 4b^3c^2 - 4a^2b^3$ です。

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数分解する問題です。

多項式は $4a^3b^2 - 4a^3c^2 + 4c^3a^2 - 4b^2c^3 + 4b^3c^2 - 4a^2b^3$ です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理し、共通因数を見つけます。

$4a^3b^2 - 4a^3c^2 + 4c^3a^2 - 4b^2c^3 + 4b^3c^2 - 4a^2b^3$

$= 4(a^3b^2 - a^3c^2 + a^2c^3 - b^2c^3 + b^3c^2 - a^2b^3)$

$= 4\{a^3(b^2-c^2) + c^2(a^2c - b^2c) + b^2(b c^2 - a^2b)\}$

$= 4\{a^3(b^2-c^2) + a^2c^3 - b^2c^3 + b^3c^2 - a^2b^3\}$

$= 4\{a^3(b^2-c^2) - a^2(b^3 - c^3) + b^2c^2(c-b)\}$

ここで、$a^3(b^2-c^2)$という項があるので、$b^2-c^2 = (b-c)(b+c)$となります。

また、$b^3 - c^3 = (b-c)(b^2+bc+c^2)$です。

したがって、

$= 4\{a^3(b-c)(b+c) - a^2(b-c)(b^2+bc+c^2) - b^2c^2(b-c)\}$

$= 4(b-c)\{a^3(b+c) - a^2(b^2+bc+c^2) - b^2c^2\}$

$= 4(b-c)\{a^3b + a^3c - a^2b^2 - a^2bc - a^2c^2 - b^2c^2\}$

$= -4(c-b)\{a^3b + a^3c - a^2b^2 - a^2bc - a^2c^2 - b^2c^2\}$

ここで式を再度確認します。

$4a^3b^2 - 4a^3c^2 + 4a^2c^3 - 4b^2c^3 + 4b^3c^2 - 4a^2b^3$

$= 4(a^3b^2 - a^3c^2 + a^2c^3 - b^2c^3 + b^3c^2 - a^2b^3)$

$= 4\{a^3(b^2 - c^2) - a^2(b^3 - c^3) + b^2c^2(b-c)\}$

$= 4(b-c)\{-a^3(b+c) + a^2(b^2 + bc + c^2) - b^2c^2\}$

ここで、$a = b$ を代入すると、$4(a^3a^2 - a^3c^2 + a^2c^3 - a^2c^3 + a^3c^2 - a^2a^3) = 0$

同様に、$b = c$ を代入すると、$4(a^3b^2 - a^3b^2 + a^2b^3 - b^2b^3 + b^3b^2 - a^2b^3) = 0$

同様に、$c = a$ を代入すると、$4(a^3b^2 - a^5 + a^5 - b^2a^3 + b^3a^2 - a^2b^3) = 0$

これより、因数に $(a-b)(b-c)(c-a)$ があることがわかります。

$4(a-b)(b-c)(c-a)(a b + a c + b c)$ を展開すると

$4 (a^2 b^2 c - a^3 b^2 - a^2 b^3 + a^3 b c + a^3 c^2 - a^2 c^3 + a b^3 c - a b c^3 + b^2 c^3 - b^3 c^2)$

$= 4 (a^2 b^2 c - a^3 b^2 - a^2 b^3 + a^3 b c + a^3 c^2 - a^2 c^3 + a b^3 c - a b c^3 + b^2 c^3 - b^3 c^2)$

これは一致しません。

別の方法として、$4 (a-b) (b-c) (c-a) (a b + a c + b c)$を展開するのではなく、$4a^3b^2 - 4a^3c^2 + 4a^2c^3 - 4b^2c^3 + 4b^3c^2 - 4a^2b^3$を$(a-b)(b-c)(c-a)$で割ると、4(ab+bc+ca)となる。

$4a^3b^2 - 4a^3c^2 + 4a^2c^3 - 4b^2c^3 + 4b^3c^2 - 4a^2b^3 = -4(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$

3. 最終的な答え

$-4(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$