(1) 行列式 $\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix}$ を因数分解する。 (2) 方程式 $\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 行列式

$\begin{vmatrix}

a & a^2 & b+c \\

b & b^2 & c+a \\

c & c^2 & a+b

\end{vmatrix}$

を因数分解する。

(2) 方程式

$\begin{vmatrix}

x-1 & 1 & 1 & 0 \\

1 & x-1 & 0 & 1 \\

1 & 0 & x-1 & 1 \\

0 & 1 & 1 & x-1

\end{vmatrix} = 0$

を解く。

2. 解き方の手順

(1) 行列式の計算と因数分解

まず、行列式を計算する。

$\begin{vmatrix}

a & a^2 & b+c \\

b & b^2 & c+a \\

c & c^2 & a+b

\end{vmatrix} = a(b^2(a+b) - c^2(c+a)) - a^2(b(a+b) - c(c+a)) + (b+c)(bc^2 - cb^2)$

$= a(ab^2 + b^3 - ac^2 - c^3) - a^2(ab+b^2 - c^2 - ac) + (b+c)bc(c-b)$

$= a^2b^2 + ab^3 - a^2c^2 - ac^3 - a^3b - a^2b^2 + a^2c^2 + a^3c + b^2c^2 - b^3c + bc^3 - b^2c^2$

$= ab^3 - ac^3 - a^3b + a^3c - b^3c + bc^3$

$= a(b^3-c^3) - a^3(b-c) - bc(b^2-c^2)$

$= a(b-c)(b^2 + bc + c^2) - a^3(b-c) - bc(b-c)(b+c)$

$= (b-c)(a(b^2 + bc + c^2) - a^3 - bc(b+c))$

$= (b-c)(ab^2 + abc + ac^2 - a^3 - b^2c - bc^2)$

$= (b-c)[(ab^2 - a^3) + (abc-b^2c) + (ac^2-bc^2)]$

$= (b-c)[a(b^2-a^2)+bc(a-b)+c^2(a-b)]$

$= (b-c)(b-a)[-a(a+b)+bc-c^2]=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

(2) 行列式の計算と方程式の解法

行列式を計算する。まず、行列式の性質を利用して計算を簡単にする。

4行目に-1をかけて2行目に足す。

4行目に-1をかけて1行目に足す。

$\begin{vmatrix}

x-1 & 1 & 1 & 0 \\

1 & x-1 & 0 & 1 \\

1 & 0 & x-1 & 1 \\

0 & 1 & 1 & x-1

\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}

x-1 & 0 & 0 & 1-x \\

1 & x-2 & -1 & 2-x \\

1 & 0 & x-1 & 1 \\

0 & 1 & 1 & x-1

\end{vmatrix} = (x-1) \begin{vmatrix}

x-2 & -1 & 2-x \\

0 & x-1 & 1 \\

1 & 1 & x-1

\end{vmatrix} - (1-x) \begin{vmatrix}

1 & x-2 & -1 \\

1 & 0 & x-1 \\

0 & 1 & 1

\end{vmatrix} $

$= (x-1)[ (x-2)((x-1)^2 - 1) + (1 - x) + (2-x)(-(x-1))]-(1-x)[ (x-1)(x-2)-(-1)- (x-1)]= (x-1)((x-2)(x-2)(x) + (1-x)+(x-2)) - (1-x)[ x^2-3x+2+1-x+1] =(x-1)( (x-2)^2x-2x) - (1-x)(x^2-4x+4) =(x-1)(x(x^2-4x+4)-2x)+(x-1)(x^2-4x+4) =(x-1)(x^3-4x^2+4x-2x+x^2-4x+4)=(x-1)(x^3-3x^2-2x+4)= (x-2)(x-1) (x^2 - x - 2) =(x-2)^2 (x-1) (x+1) = 0$

したがって、$x = 2, 1, -1$

3. 最終的な答え

(1) $(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

(2) $x = -1, 1, 2$