(1) の行列式 $\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix}$ を因数分解しなさい。 (2) の方程式 $\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$ を解きなさい。

1. 問題の内容

(1) の行列式 $\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix}$ を因数分解しなさい。

(2) の方程式 $\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$ を解きなさい。

2. 解き方の手順

(1) 行列式の性質を利用して因数分解を行います。

1列目に $a, b, c$ があり、2列目に $a^2, b^2, c^2$ があり、3列目に $b+c, c+a, a+b$ があります。

まず、3列目に1列目を足します。

$\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & a^2 & a+b+c \\ b & b^2 & a+b+c \\ c & c^2 & a+b+c \end{vmatrix}$

3列目から $(a+b+c)$ をくくりだします。

$(a+b+c) \begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{vmatrix}$

次に、1行目を2行目と3行目から引きます。

$(a+b+c) \begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ b-a & b^2-a^2 & 0 \\ c-a & c^2-a^2 & 0 \end{vmatrix}$

$(a+b+c) \begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ b-a & (b-a)(b+a) & 0 \\ c-a & (c-a)(c+a) & 0 \end{vmatrix}$

$(a+b+c)(b-a)(c-a) \begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ 1 & b+a & 0 \\ 1 & c+a & 0 \end{vmatrix}$

$(a+b+c)(b-a)(c-a) \begin{vmatrix} b+a & 0 \\ c+a & 0 \end{vmatrix}=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c+a-b-a) = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)$

よって、

$\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix} = (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

(2) 方程式 $\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$ を解きます。

1行目に2行目、3行目、4行目を加えます。

$\begin{vmatrix} x+1 & x+1 & x+1 & x+1 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

1行目から $(x+1)$ をくくりだします。

$(x+1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

2行目、3行目、4行目から1行目を引きます。

$(x+1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & x-2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & x-2 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & x-2 \end{vmatrix} = 0$

$(x+1) \begin{vmatrix} x-2 & -1 & 0 \\ -1 & x-2 & 0 \\ 0 & 0 & x-2 \end{vmatrix} =0$

$(x+1)(x-2) \begin{vmatrix} x-2 & -1 \\ -1 & x-2 \end{vmatrix} = 0$

$(x+1)(x-2)((x-2)^2 - 1) = 0$

$(x+1)(x-2)(x^2-4x+4-1)=0$

$(x+1)(x-2)(x^2-4x+3) = 0$

$(x+1)(x-2)(x-1)(x-3) = 0$

よって、$x = -1, 1, 2, 3$.

3. 最終的な答え

(1) $(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

(2) $x = -1, 1, 2, 3$