三角形ABEと三角形ABCの面積比を求めます。図から、BD = 2, DC = 5, AE = 4, ED = 2という情報が与えられています。

1. 問題の内容

三角形ABEと三角形ABCの面積比を求めます。図から、BD = 2, DC = 5, AE = 4, ED = 2という情報が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、三角形の面積比を底辺の比として考えることができるということを利用します。

三角形ABDと三角形ADCの面積比は、底辺BDとDCの比に等しくなります。

したがって、$\triangle ABD : \triangle ADC = BD : DC = 2 : 5$です。

これから、$\triangle ABC$は$\triangle ABD$の$\frac{2+5}{2} = \frac{7}{2}$倍となります。つまり、$\triangle ABC = \frac{7}{2}\triangle ABD$です。

次に、$\triangle ABE$と$\triangle DBE$の面積比を考えます。これは高さが共通なので、底辺の比に等しくなります。

$\triangle ABE : \triangle DBE = AE : DE = 4 : 2 = 2 : 1$です。

これから、$\triangle ABE = 2\triangle DBE$です。

また、$\triangle ABD = \triangle ABE + \triangle DBE = 2\triangle DBE + \triangle DBE = 3\triangle DBE$なので、

$\triangle DBE = \frac{1}{3}\triangle ABD$となります。

$\triangle ABE = 2\triangle DBE = 2 \times \frac{1}{3}\triangle ABD = \frac{2}{3}\triangle ABD$です。

求めたい$\triangle ABE : \triangle ABC$は、$\frac{2}{3}\triangle ABD : \frac{7}{2}\triangle ABD$となります。

$\triangle ABD$を消去すると、$\frac{2}{3} : \frac{7}{2}$となります。

比を整数にするために、両辺に6をかけます。

$\frac{2}{3} \times 6 : \frac{7}{2} \times 6 = 4 : 21$

3. 最終的な答え

$\triangle ABE : \triangle ABC = 4 : 21$