円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle{ABC}$の外角が25°、$\angle{BCD}$が120°である。線分ADと線分BFの交点をEとしたとき、$\angle{AEF} = \theta$ を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle{ABC}$の外角が25°、$\angle{BCD}$が120°である。線分ADと線分BFの交点をEとしたとき、$\angle{AEF} = \theta$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円に内接する四角形の性質を利用します。

円に内接する四角形の対角の和は180°なので、$\angle{BAD} + \angle{BCD} = 180°$です。

$\angle{BCD} = 120°$ より、$\angle{BAD} = 180° - 120° = 60°$。

次に、$\angle{ABC}$の外角が25°であることから、$\angle{ABC} = 180° - 25° = 155°$。

また、円周角の定理より、$\angle{FAB} = \angle{BCD} = 25°$。

$\angle{BAF} = \angle{BDF} = 25°$。

$\angle{BAD}= 60°$ より、$\angle{FAD} = 60°$.

三角形AEFにおいて、$\theta = \angle{AEF}$を求める。

$\angle{AEF}$は三角形AEDの外角であり、$\angle{AEF} = \angle{EAD} + \angle{ADE} = \angle{BAD} + \angle{ABC} + \angle{BAD} - 25$となります。

$\angle{AEF}= \angle{EAB}+\angle{EBA}$である。

$\angle{BAF} = 25^\circ$ であるから，$\angle{EAD} = 60° - 25°=35°$。

円周角の定理より、$\angle{ADB} = \angle{ACB}$。

また、円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle{ABC} + \angle{ADC} = 180°$。

$\angle{ABC}= 155°$ より、$\angle{ADC} = 180° - 155° = 25°$。

$\angle{ADE}$も$25°$であるから、三角形AEDの内角の和を考えると、

$\angle{AED} = 180° - \angle{EAD} - \angle{ADE}$。

$\angle{EAD} = \angle{BAD} = 60°$。

$\angle{ADE} = 25°$。

よって、$\angle{AED} = 180° - 60° - 25° = 95°$。

$\theta = \angle{AEF}$は$\angle{AED}$の対頂角なので、$\theta = 95°$。

3. 最終的な答え

$\theta = 95°$