平面上に三角形OABがあり、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とする。 辺ABを1:2に内分する点をC、線分OCを3:2に内分する点をDとする。 (1) $\vec{OC}$, $\vec{OD}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表す。 (2) 線分BDを5:3に内分する点をEとするとき、$\vec{CE}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表す。また、辺OB上に$\vec{OF}=t\vec{b}$ ($0 < t < 1$)を満たす点Fをとる。3点C, E, Fが一直線上にあるとき、tの値を求める。 (3) $OA = 3$, $OB = 4$とする。(2)で求めたtの値における点Fに対し、$\angle ODF = 90^{\circ}$となるとき、内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$の値を求める。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に回答を作成します。

1. 問題の内容

平面上に三角形OABがあり、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とする。

辺ABを1:2に内分する点をC、線分OCを3:2に内分する点をDとする。

(1) $\vec{OC}$, $\vec{OD}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表す。

(2) 線分BDを5:3に内分する点をEとするとき、$\vec{CE}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表す。また、辺OB上に$\vec{OF}=t\vec{b}$ ($0 < t < 1$)を満たす点Fをとる。3点C, E, Fが一直線上にあるとき、tの値を求める。

(3) $OA = 3$, $OB = 4$とする。(2)で求めたtの値における点Fに対し、$\angle ODF = 90^{\circ}$となるとき、内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Cは辺ABを1:2に内分するので、

$\vec{OC} = \frac{2\vec{OA} + 1\vec{OB}}{1+2} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$

点Dは線分OCを3:2に内分するので、

$\vec{OD} = \frac{2\vec{OC}}{3+2} = \frac{3}{5} \vec{OC} = \frac{3}{5} \cdot \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{5}$

(2)

点Eは線分BDを5:3に内分するので、

$\vec{OE} = \frac{3\vec{OB} + 5\vec{OD}}{5+3} = \frac{3\vec{b} + 5(\frac{2\vec{a} + \vec{b}}{5})}{8} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{a} + \vec{b}}{8} = \frac{2\vec{a} + 4\vec{b}}{8} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{4}$

$\vec{CE} = \vec{OE} - \vec{OC} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{4} - \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3} = \frac{3\vec{a} + 6\vec{b} - 8\vec{a} - 4\vec{b}}{12} = \frac{-5\vec{a} + 2\vec{b}}{12}$

3点C, E, Fが一直線上にあるとき、$\vec{CF} = k\vec{CE}$となる実数kが存在する。

$\vec{OF} = \vec{OC} + \vec{CF} = \vec{OC} + k\vec{CE}$

$t\vec{b} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3} + k \frac{-5\vec{a} + 2\vec{b}}{12} = (\frac{2}{3} - \frac{5k}{12})\vec{a} + (\frac{1}{3} + \frac{2k}{12})\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、

$\frac{2}{3} - \frac{5k}{12} = 0$ より $\frac{5k}{12} = \frac{2}{3} \Rightarrow k = \frac{2}{3} \times \frac{12}{5} = \frac{8}{5}$

$t = \frac{1}{3} + \frac{2k}{12} = \frac{1}{3} + \frac{2}{12} \cdot \frac{8}{5} = \frac{1}{3} + \frac{16}{60} = \frac{1}{3} + \frac{4}{15} = \frac{5+4}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

(3)

$\angle ODF = 90^{\circ}$なので、$\vec{OD} \cdot \vec{DF} = 0$

$\vec{DF} = \vec{OF} - \vec{OD} = \frac{3}{5}\vec{b} - \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{5} = \frac{-2\vec{a} + 2\vec{b}}{5}$

$\vec{OD} \cdot \vec{DF} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{5} \cdot \frac{-2\vec{a} + 2\vec{b}}{5} = \frac{-4|\vec{a}|^2 + 4\vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 2|\vec{b}|^2}{25} = \frac{-4|\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 2|\vec{b}|^2}{25} = 0$

$-4|\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 2|\vec{b}|^2 = 0$

$-4 \cdot 3^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 2 \cdot 4^2 = 0$

$-36 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 32 = 0$

$2\vec{a}\cdot\vec{b} = 4$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OC} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$, $\vec{OD} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{5}$

(2) $\vec{CE} = \frac{-5\vec{a} + 2\vec{b}}{12}$, $t = \frac{3}{5}$

(3) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$