与えられた三角形ABCにおいて、AB=t, BC=√(2t+1), AC=t-1である。三角形ABCの外接円の半径をR, 内接円の半径をr, 面積をSとする。 (1) t=3の場合のcos∠BAC, R, Sを求める。 (2) t=4の場合のsin∠BAC:sin∠ACB, cos∠BAC:cos∠ACB, MC, S, rを求める。 (3) ∠BAC=90°の場合のt, S, 三角形AMCの内接円の半径r1を求める。

1. 問題の内容

与えられた三角形ABCにおいて、AB=t, BC=√(2t+1), AC=t-1である。三角形ABCの外接円の半径をR, 内接円の半径をr, 面積をSとする。

(1) t=3の場合のcos∠BAC, R, Sを求める。

(2) t=4の場合のsin∠BAC:sin∠ACB, cos∠BAC:cos∠ACB, MC, S, rを求める。

(3) ∠BAC=90°の場合のt, S, 三角形AMCの内接円の半径r1を求める。

2. 解き方の手順

(1) t=3のとき、AB=3, BC=√7, AC=2。余弦定理より、

$cos∠BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{3^2 + 2^2 - (\sqrt{7})^2}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{9 + 4 - 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

したがって、∠BAC = 60°。正弦定理より、$\frac{BC}{sin∠BAC} = 2R$なので、

$R = \frac{BC}{2sin∠BAC} = \frac{\sqrt{7}}{2sin60°} = \frac{\sqrt{7}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$

ここで、$R = \frac{\sqrt{21}}{3} = \frac{\sqrt{3 \cdot 7}}{3} \approx \frac{\sqrt{9 \cdot 7}}{3} = \frac{3 \sqrt{7}}{3} = \sqrt{7} \approx 2.64$

三角形の面積Sは、

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot sin∠BAC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot sin60° = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

(2) t=4のとき、AB=4, BC=√9=3, AC=3。正弦定理より、$\frac{sin∠BAC}{BC} = \frac{sin∠ACB}{AB}$なので、

$sin∠BAC:sin∠ACB = BC:AB = 3:4$

余弦定理より、

$cos∠BAC = \frac{4^2 + 3^2 - 3^2}{2 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$

$cos∠ACB = \frac{3^2 + 3^2 - 4^2}{2 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{18 - 16}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

よって、$cos∠BAC:cos∠ACB = \frac{2}{3}:\frac{1}{9} = 6:1$

MはABの中点なので、AM=MB=2。中線定理より、

$AC^2 + BC^2 = 2(AM^2 + MC^2)$

$3^2 + 3^2 = 2(2^2 + MC^2)$

$18 = 2(4 + MC^2)$

$9 = 4 + MC^2$

$MC^2 = 5$

$MC = \sqrt{5}$

ヘロンの公式より、$s = \frac{4+3+3}{2} = 5$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{5(5-4)(5-3)(5-3)} = \sqrt{5 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$S = rs$ より、$r = \frac{S}{s} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(3) ∠BAC = 90°のとき、$BC^2 = AB^2 + AC^2$なので、

$(\sqrt{2t+1})^2 = t^2 + (t-1)^2$

$2t+1 = t^2 + t^2 - 2t + 1$

$2t+1 = 2t^2 - 2t + 1$

$2t^2 - 4t = 0$

$2t(t-2) = 0$

$t = 0, 2$

$t>1$より、$t=2$。

AB=2, BC=√5, AC=1。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$

AM = 1 なので、AMCは二等辺三角形。AM=AC=1、∠MAC=90°

したがって、$MC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$r_1 = \frac{AM+AC-MC}{2} = \frac{1+1-\sqrt{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$

$r_1 = (2-\sqrt{2}):2=(2-\sqrt{2}):(3-\sqrt{7})$

最終解答:

1: 1

2: 2

3: 2

4: 2

5: 3

6: 3

7: 3

8: 2

9: 3

10: 4

11: 6

12: 1

13: 5

14: 2

15: 0

16: 2

17: 5

18: 5

19: 2

20: 1

21: 2

22: 7