2つの円が接しており、点Pが接点である図において、角$\theta$の大きさを求める問題です。円周角$\angle CPD = 45^\circ$と$\angle BPA = 55^\circ$が与えられています。

1. 問題の内容

2つの円が接しており、点Pが接点である図において、角$\theta$の大きさを求める問題です。円周角$\angle CPD = 45^\circ$と$\angle BPA = 55^\circ$が与えられています。

2. 解き方の手順

円周角の定理より、$\angle CPD = 45^\circ$なので、$\angle CBD = 45^\circ$となります。

また、$\angle BPA = 55^\circ$です。

三角形BPDにおいて、$\angle BPD + \angle PBD + \angle BDP = 180^\circ$です。

$\angle BPD = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$となります。

円周角の定理より、$\angle BDP = \angle BCD$です。よって$\angle BDP = \angle BCD$。

$\angle APB=55^\circ$より、対頂角である$\angle CPD=55^\circ$となります。これは与えられた$\angle CPD=45^\circ$と矛盾します。つまり、図は正確ではありません。しかし、図の状況を維持して解を求めます。

三角形BPDにおいて、

$\angle BPD + \angle PBD + \angle BDP = 180^\circ$

$\angle BPD = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$ (これは図の左側の円の接線と弦による角の性質を使っている)

$\angle PBD = \angle CBD = 45^\circ$

よって、$\angle BDP = 180^\circ - 125^\circ - 45^\circ = 10^\circ$

$\angle ADB=10^\circ$

$\angle BPA = 55^\circ$より$\angle BDA = 45^\circ$　（図が不正確であるために円周角の定理が使えない）

したがって、$\angle BDA$が10度の時は、$\angle APB = 55^\circ$が成り立つように図が修正される。

ここで、弧BDに対する円周角が$\angle BAD$と$\angle BCD$であるため、これらが等しい。

$\angle BCD=45^\circ$より、$\angle BAD=45^\circ$

$\angle BAD=\theta=45^\circ-55^\circ = -10^\circ$ となってしまう。

よって、$\angle BDA = 45^\circ$　は成立しない。

別の方法で解く。

点Pにおける2円の共通接線を引く。

$\angle PBA = \angle PCD$

$\angle BPA = 55^\circ, \angle PCD = 45^\circ$

$\angle PBA = 45^\circ$となる。

三角形ABPの内角の和は180度であるから、

$\theta + 55^\circ + 45^\circ = 180^\circ$

$\theta = 180^\circ - 55^\circ - 45^\circ = 80^\circ$

3. 最終的な答え

$\theta = 80^\circ$