関数 $f(x) = x^2e^{-2x}$ について、$\lim_{x \to \infty} f(x)$ と $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2e^{-2x}$ について、$\lim_{x \to \infty} f(x)$ と $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-2x}$ を求める。

$x \to \infty$ のとき、$x^2 \to \infty$ であり、$e^{-2x} \to 0$ であるため、不定形 ($\infty \cdot 0$ の形) となります。そこで、$e^{-2x} = \frac{1}{e^{2x}}$ と変形し、ロピタルの定理を用いることを考えます。

$\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^{2x}}$

この形は $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^{2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{2e^{2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2x}}$

これは再び $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、もう一度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2e^{2x}} = 0$

(2) $\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-2x}$ を求める。

$x \to -\infty$ のとき、$x^2 \to \infty$ であり、$e^{-2x} \to \infty$ であるため、$\infty \cdot \infty$ となり、極限は $\infty$ に発散します。

$\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-2x} = \infty$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$