不等式 $3(x-1) < 2(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=3$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $3(x-1) < 2(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=3$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式を解きます。

$3(x-1) < 2(x+a)$

$3x - 3 < 2x + 2a$

$3x - 2x < 2a + 3$

$x < 2a + 3$

不等式を満たす最大の整数 $x$ が $3$ であるということは、$x < 2a + 3$ を満たす最大の整数が $3$ であるということです。

したがって、$3 < 2a + 3 \le 4$ という不等式が成り立ちます。

$3 < 2a + 3 \le 4$

各辺から $3$ を引きます。

$0 < 2a \le 1$

各辺を $2$ で割ります。

$0 < a \le \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$0 < a \le \frac{1}{2}$