(1) 関数 $y = x^2e^{3x}$ を微分する。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。どの問題を解きましょうか？

とりあえず、1番から順に解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = x^2e^{3x}$ を微分する。

2. 解き方の手順

積の微分法と合成関数の微分法を用いる。

積の微分法: $(uv)' = u'v + uv'$

合成関数の微分法: $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$

$u = x^2$, $v = e^{3x}$ とおく。

$u' = 2x$

$v' = 3e^{3x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = (x^2)'e^{3x} + x^2(e^{3x})' = 2xe^{3x} + x^2(3e^{3x}) = 2xe^{3x} + 3x^2e^{3x} = (3x^2 + 2x)e^{3x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (3x^2 + 2x)e^{3x}$

1. 問題の内容

(2) 関数 $y = \sin^{-1}\sqrt{2x}$ を微分する。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx} \sin^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{2x})^2}} \cdot \frac{d}{dx} \sqrt{2x} = \frac{1}{\sqrt{1-2x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{1-2x}\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x(1-2x)}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{2x(1-2x)}}$

1. 問題の内容

(3) 関数 $y = (2x)^x$ を微分する。

2. 解き方の手順

両辺の対数をとってから微分する。

$\ln y = \ln((2x)^x) = x \ln(2x)$

両辺を $x$ で微分する。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(2x) + x \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = \ln(2x) + 1$

$\frac{dy}{dx} = y (\ln(2x) + 1) = (2x)^x (\ln(2x) + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (2x)^x (\ln(2x) + 1)$

2. 問題の内容

(1) 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{1 - \cos 2x}$ を求める。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{1 - \cos 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2 \sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{4 \cos 2x} = \frac{e^0}{4 \cos 0} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$

2. 問題の内容

(2) 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 2^n}{3^n}$ の和を求める。

2. 解き方の手順

級数を2つに分解する。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 2^n}{3^n} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n$

等比級数の和: $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}$ (|r|<1) より、

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{2/3}{1 - 2/3} = \frac{2/3}{1/3} = 2$

$\sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$ (|x|<1) より、

$\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}$

$2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n} = 2 \cdot \frac{1/3}{(1 - 1/3)^2} = 2 \cdot \frac{1/3}{(2/3)^2} = 2 \cdot \frac{1/3}{4/9} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{2}$

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 2^n}{3^n} = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{2}$

3. 問題の内容

関数 $y = x^2 \cos x$ の $n$ 階導関数 $y^{(n)}$ を求める。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式を用いる。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)}v^{(k)}$

$u = x^2$, $v = \cos x$ とおく。

$u' = 2x$, $u'' = 2$, $u^{(k)} = 0$ (k >= 3)

$\cos x$ の導関数は、

$\cos x, -\sin x, -\cos x, \sin x, \cos x,...$ と周期的に変化する。

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^2)^{(n-k)} (\cos x)^{(k)} = \binom{n}{0} x^2 (\cos x)^{(n)} + \binom{n}{1} 2x (\cos x)^{(n-1)} + \binom{n}{2} 2 (\cos x)^{(n-2)}$

$(\cos x)^{(n)}$ はnを4で割った余りによって $\cos x, -\sin x, -\cos x, \sin x$ のいずれかになる。

$y^{(n)} = x^2 (\cos x)^{(n)} + n(2x) (\cos x)^{(n-1)} + \frac{n(n-1)}{2} 2 (\cos x)^{(n-2)}$

$= x^2 (\cos x)^{(n)} + 2nx (\cos x)^{(n-1)} + n(n-1) (\cos x)^{(n-2)}$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = x^2 (\cos x)^{(n)} + 2nx (\cos x)^{(n-1)} + n(n-1) (\cos x)^{(n-2)}$

ただし,

$(\cos x)^{(n)} = \begin{cases}

\cos x & (n \equiv 0 \pmod{4}) \\

-\sin x & (n \equiv 1 \pmod{4}) \\

-\cos x & (n \equiv 2 \pmod{4}) \\

\sin x & (n \equiv 3 \pmod{4})

\end{cases}$

4. 問題の内容

(1) 関数 $\cos 3x$ のマクローリン展開を求める。

2. 解き方の手順

$\cos x$ のマクローリン展開: $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...$

$x$ を $3x$ に置き換える。

$\cos 3x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} (3x)^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^{2n}}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{(3x)^2}{2!} + \frac{(3x)^4}{4!} - \frac{(3x)^6}{6!} + ...$

$= 1 - \frac{9x^2}{2} + \frac{81x^4}{24} - \frac{729x^6}{720} + ... = 1 - \frac{9x^2}{2} + \frac{27x^4}{8} - \frac{81x^6}{80} + ...$

3. 最終的な答え

$\cos 3x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^{2n}}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{9x^2}{2} + \frac{27x^4}{8} - \frac{81x^6}{80} + ...$

4. 問題の内容

(2) 関数 $\frac{1}{2+x}$ のマクローリン展開を求める。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ (|x|<1) を利用する。

$\frac{1}{2+x} = \frac{1}{2(1+\frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-(-\frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{x}{2})^n = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} x^n = \frac{1}{2} - \frac{x}{4} + \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{16} + ...$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2+x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} x^n = \frac{1}{2} - \frac{x}{4} + \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{16} + ...$

5. 問題の内容

(1) 定積分 $\int_{1/2}^{1/\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を求める。

2. 解き方の手順

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \sin^{-1} x + C$

$\int_{1/2}^{1/\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = [\sin^{-1} x]_{1/2}^{1/\sqrt{2}} = \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}} - \sin^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - 2\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{12}$

5. 問題の内容

(2) 不定積分 $\int (x^2 + x + 1) \log x dx$ を求める。

2. 解き方の手順

部分積分を用いる。

$\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$

$f(x) = \log x, g'(x) = x^2 + x + 1$

$f'(x) = \frac{1}{x}, g(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$

$\int (x^2 + x + 1) \log x dx = (\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x) \log x - \int (\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x) \frac{1}{x} dx = (\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x) \log x - \int (\frac{x^2}{3} + \frac{x}{2} + 1) dx = (\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x) \log x - (\frac{x^3}{9} + \frac{x^2}{4} + x) + C$

3. 最終的な答え

$(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x) \log x - (\frac{x^3}{9} + \frac{x^2}{4} + x) + C$

5. 問題の内容

(3) 不定積分 $\int \frac{1}{(x+2)(x^3+8)} dx$ を求める。

2. 解き方の手順

部分分数分解を行う。

$x^3 + 8 = (x+2)(x^2-2x+4)$

$\frac{1}{(x+2)(x^3+8)} = \frac{1}{(x+2)^2(x^2-2x+4)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{(x+2)^2} + \frac{Cx+D}{x^2-2x+4}$

$1 = A(x+2)(x^2-2x+4) + B(x^2-2x+4) + (Cx+D)(x+2)^2$

$1 = A(x^3+8) + B(x^2-2x+4) + (Cx+D)(x^2+4x+4)$

$1 = Ax^3+8A + Bx^2-2Bx+4B + Cx^3+4Cx^2+4Cx + Dx^2+4Dx+4D$

$1 = (A+C)x^3 + (B+4C+D)x^2 + (-2B+4C+4D)x + (8A+4B+4D)$

$A+C=0$

$B+4C+D=0$

$-2B+4C+4D=0$

$8A+4B+4D=1$

$C=-A$

$B-4A+D=0$

$-2B-4A+4D=0$

$8A+4B+4D=1$

$B+D=4A$

$-2B+4D=4A$

$8A+4(B+D)=1$

$-2B+4D=B+D$

$3D=3B$

$B=D$

$2B = 4A$

$B=2A$

$8A+4(4A) = 1$

$24A=1$

$A = \frac{1}{24}$

$B=D=\frac{2}{24} = \frac{1}{12}$

$C = -\frac{1}{24}$

$\int \frac{1}{(x+2)(x^3+8)} dx = \int \frac{1/24}{x+2} + \frac{1/12}{(x+2)^2} + \frac{-x/24+1/12}{x^2-2x+4} dx$

$= \frac{1}{24} \int \frac{1}{x+2} dx + \frac{1}{12} \int \frac{1}{(x+2)^2} dx + \int \frac{-x/24+1/12}{x^2-2x+4} dx = \frac{1}{24} \ln|x+2| - \frac{1}{12(x+2)} + \int \frac{-x/24+1/12}{x^2-2x+4} dx$

$\int \frac{-x/24+1/12}{x^2-2x+4} dx = \int \frac{-\frac{1}{48}(2x-2) + \frac{1}{24} + \frac{1}{12}}{x^2-2x+4} dx = -\frac{1}{48}\int \frac{2x-2}{x^2-2x+4} dx + \frac{1}{8} \int \frac{1}{x^2-2x+4} dx$

$= -\frac{1}{48} \ln|x^2-2x+4| + \frac{1}{8} \int \frac{1}{(x-1)^2+3} dx = -\frac{1}{48} \ln|x^2-2x+4| + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{x-1}{\sqrt{3}} + C$

$\int \frac{1}{(x+2)(x^3+8)} dx = \frac{1}{24} \ln|x+2| - \frac{1}{12(x+2)} -\frac{1}{48} \ln|x^2-2x+4| + \frac{1}{8\sqrt{3}} \arctan \frac{x-1}{\sqrt{3}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{24} \ln|x+2| - \frac{1}{12(x+2)} -\frac{1}{48} \ln|x^2-2x+4| + \frac{1}{8\sqrt{3}} \arctan \frac{x-1}{\sqrt{3}} + C$

6. 問題の内容

(1) 広義積分 $\int_0^{\infty} \frac{x}{(x^2+1)^\alpha} dx$ を求める。ただし、$\alpha > 0$ とする。

2. 解き方の手順

$u = x^2 + 1$ と置換する。

$du = 2x dx$

$\int \frac{x}{(x^2+1)^\alpha} dx = \int \frac{1}{2u^\alpha} du = \frac{1}{2} \int u^{-\alpha} du$

$\alpha = 1$ のとき、$\int u^{-1} du = \ln |u| + C = \ln (x^2+1) + C$

$\alpha \neq 1$ のとき、$\int u^{-\alpha} du = \frac{u^{1-\alpha}}{1-\alpha} + C = \frac{(x^2+1)^{1-\alpha}}{1-\alpha} + C$

$\alpha = 1$ のとき、$\int_0^\infty \frac{x}{x^2+1} dx = \lim_{b \to \infty} [\frac{1}{2} \ln(x^2+1)]_0^b = \lim_{b \to \infty} (\frac{1}{2} \ln(b^2+1) - \frac{1}{2} \ln 1) = \infty$

$\alpha \neq 1$ のとき、$\int_0^\infty \frac{x}{(x^2+1)^\alpha} dx = \lim_{b \to \infty} [\frac{1}{2(1-\alpha)}(x^2+1)^{1-\alpha}]_0^b = \lim_{b \to \infty} \frac{1}{2(1-\alpha)}[(b^2+1)^{1-\alpha} - 1]$

$1-\alpha > 0$, $\alpha < 1$ のとき、$\lim_{b \to \infty} (b^2+1)^{1-\alpha} = \infty$

$1-\alpha < 0$, $\alpha > 1$ のとき、$\lim_{b \to \infty} (b^2+1)^{1-\alpha} = 0$

したがって、

$\alpha = 1$ のとき、発散

$\alpha < 1$ のとき、発散

$\alpha > 1$ のとき、$\int_0^\infty \frac{x}{(x^2+1)^\alpha} dx = \frac{1}{2(\alpha-1)}$

3. 最終的な答え

$\begin{cases}

\frac{1}{2(\alpha-1)} & (\alpha > 1) \\

\infty & (\alpha \leq 1)

\end{cases}$

6. 問題の内容

(2) 広義積分 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx$ を求める。

2. 解き方の手順

$\int_0^1 x^{-1/3} dx = [\frac{3}{2} x^{2/3}]_0^1 = \frac{3}{2} (1^{2/3} - 0^{2/3}) = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$

7. 問題の内容

整級数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{n!} x^n$ の収束半径を求める。

2. 解き方の手順

ダランベールの収束判定法を用いる。

$a_n = \frac{(2n)!}{n!} x^n$

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(2(n+1))!}{(n+1)!} x^{n+1} \cdot \frac{n!}{(2n)!} \frac{1}{x^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(2n+2)!}{(2n)!} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot x \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} x \right| = \lim_{n \to \infty} \left| (2(2n+1))x \right| = \lim_{n \to \infty} |(4n+2)x|$

収束するためには、$\lim_{n \to \infty} |(4n+2)x| < 1$ が必要。

これは $x=0$ の時のみ成立する。

したがって、収束半径は0である。

3. 最終的な答え

0

8. 問題の内容

曲線 $y = (\sin x)^{3/2}$ の $0 \leq x \leq \pi/2$ の部分を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積 $V$ を求める。

2. 解き方の手順

回転体の体積の公式: $V = \pi \int_a^b y^2 dx$

$V = \pi \int_0^{\pi/2} ((\sin x)^{3/2})^2 dx = \pi \int_0^{\pi/2} \sin^3 x dx = \pi \int_0^{\pi/2} \sin x (1-\cos^2 x) dx$

$u = \cos x$ と置換する。

$du = -\sin x dx$

$x=0$ のとき $u = 1$

$x=\pi/2$ のとき $u=0$

$V = \pi \int_1^0 (1-u^2)(-du) = \pi \int_0^1 (1-u^2) du = \pi [u - \frac{u^3}{3}]_0^1 = \pi (1 - \frac{1}{3}) = \pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\pi}{3}$