与えられた定積分 $\int_{1}^{5} \frac{dx}{x^2 - 4x + 7}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{1}^{5} \frac{dx}{x^2 - 4x + 7}$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分対象の分母 $x^2 - 4x + 7$ を平方完成します。

$x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3$

したがって、積分は

$\int_{1}^{5} \frac{dx}{(x-2)^2 + 3}$

となります。

ここで、$u = x-2$ と置換すると、$du = dx$ となり、積分範囲は、$x=1$ のとき $u = -1$、$x=5$ のとき $u=3$ となります。したがって、積分は

$\int_{-1}^{3} \frac{du}{u^2 + 3}$

となります。

ここで、$u = \sqrt{3} \tan \theta$ と置換すると、$du = \sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta$ となり、$u^2 + 3 = 3 \tan^2 \theta + 3 = 3 \sec^2 \theta$ となります。

したがって、

$\int \frac{du}{u^2 + 3} = \int \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta}{3 \sec^2 \theta} = \frac{1}{\sqrt{3}} \int d\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \theta + C = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{u}{\sqrt{3}}) + C$

となります。

$u = -1$ のとき $\theta = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}})$、 $u = 3$ のとき $\theta = \arctan(\frac{3}{\sqrt{3}}) = \arctan(\sqrt{3})$ となります。

したがって、定積分は

$\int_{-1}^{3} \frac{du}{u^2 + 3} = \frac{1}{\sqrt{3}} [\arctan(\frac{u}{\sqrt{3}})]_{-1}^{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} [\arctan(\frac{3}{\sqrt{3}}) - \arctan(\frac{-1}{\sqrt{3}})] = \frac{1}{\sqrt{3}} [\arctan(\sqrt{3}) - \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}})]$

$\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$、$\arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}[\frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6})] = \frac{1}{\sqrt{3}}[\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}] = \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}\pi}{6}$