等式 $2x^2 + 3x + 7 = a(x+1)^2 - b(x-2) + c$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

等式 $2x^2 + 3x + 7 = a(x+1)^2 - b(x-2) + c$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開します。

\begin{align*}

a(x+1)^2 - b(x-2) + c &= a(x^2 + 2x + 1) - b(x-2) + c \\

&= ax^2 + 2ax + a - bx + 2b + c \\

&= ax^2 + (2a - b)x + (a + 2b + c)

\end{align*}

したがって、与えられた等式は次のようになります。

$2x^2 + 3x + 7 = ax^2 + (2a - b)x + (a + 2b + c)$

この等式が $x$ についての恒等式であるためには、各次数の項の係数が等しくなければなりません。したがって、以下の3つの式が得られます。

\begin{align}

a &= 2 \\

2a - b &= 3 \\

a + 2b + c &= 7

\end{align}

$a = 2$ を2番目の式に代入すると、

$2(2) - b = 3$

$4 - b = 3$

$b = 1$

次に、$a = 2$ と $b = 1$ を3番目の式に代入すると、

$2 + 2(1) + c = 7$

$2 + 2 + c = 7$

$4 + c = 7$

$c = 3$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 1$

$c = 3$