次の広義積分を求めよ。 $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(x^2+1)^\alpha} dx$

1. 問題の内容

次の広義積分を求めよ。

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(x^2+1)^\alpha} dx$

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。$u = x^2 + 1$ と置くと、$du = 2x dx$ となり、$x dx = \frac{1}{2}du$ となります。

また、積分範囲も変化します。$x = 0$ のとき、$u = 1$、$x \to \infty$ のとき、$u \to \infty$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(x^2+1)^\alpha} dx = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{2u^\alpha} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{\infty} u^{-\alpha} du$

次に、この広義積分を計算します。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{\infty} u^{-\alpha} du = \frac{1}{2} \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} u^{-\alpha} du$

ここで、$\alpha \neq 1$ の場合と $\alpha = 1$ の場合で場合分けが必要です。

(1) $\alpha \neq 1$ の場合

$\frac{1}{2} \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} u^{-\alpha} du = \frac{1}{2} \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{u^{-\alpha+1}}{-\alpha+1} \right]_1^b = \frac{1}{2(1-\alpha)} \lim_{b \to \infty} (b^{1-\alpha} - 1)$

この極限が存在するためには、$1 - \alpha < 0$ である必要があり、$\alpha > 1$ が条件となります。

このとき、$\lim_{b \to \infty} b^{1-\alpha} = 0$ となるため、

$\frac{1}{2(1-\alpha)} \lim_{b \to \infty} (b^{1-\alpha} - 1) = \frac{1}{2(1-\alpha)} (0 - 1) = \frac{1}{2(\alpha-1)}$

(2) $\alpha = 1$ の場合

$\frac{1}{2} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \lim_{b \to \infty} [\ln u]_1^b = \frac{1}{2} \lim_{b \to \infty} (\ln b - \ln 1) = \frac{1}{2} \lim_{b \to \infty} \ln b$

この極限は発散します。

したがって、積分が収束するのは $\alpha > 1$ のときで、その値は $\frac{1}{2(\alpha-1)}$ です。

3. 最終的な答え

$\alpha > 1$ のとき、$\frac{1}{2(\alpha-1)}$

$\alpha \leq 1$ のとき、発散