与えられた関数のマクローリン展開を4次の項まで求める。 (1) $cos(3x)$ (2) $\frac{1}{2+x}$

1. 問題の内容

与えられた関数のマクローリン展開を4次の項まで求める。

(1) $cos(3x)$

(2) $\frac{1}{2+x}$

2. 解き方の手順

(1) $cos(3x)$のマクローリン展開を求める。

$cos(x)$のマクローリン展開は次の通り。

$cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...$

したがって、$cos(3x)$のマクローリン展開は、$x$ を $3x$ に置き換えることで得られる。

$cos(3x) = 1 - \frac{(3x)^2}{2!} + \frac{(3x)^4}{4!} - ...$

$cos(3x) = 1 - \frac{9x^2}{2} + \frac{81x^4}{24} - ...$

4次までの項を取ると、

$cos(3x) \approx 1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4$

(2) $\frac{1}{2+x}$のマクローリン展開を求める。

$\frac{1}{2+x} = \frac{1}{2(1+\frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+\frac{x}{2}}$

$\frac{1}{1+x}$ のマクローリン展開は、$1-x+x^2-x^3+x^4...$

$\frac{1}{1+\frac{x}{2}} = 1 - \frac{x}{2} + (\frac{x}{2})^2 - (\frac{x}{2})^3 + (\frac{x}{2})^4 - ...$

$\frac{1}{1+\frac{x}{2}} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{8} + \frac{x^4}{16} - ...$

$\frac{1}{2+x} = \frac{1}{2}(1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{8} + \frac{x^4}{16} - ...)$

$\frac{1}{2+x} = \frac{1}{2} - \frac{x}{4} + \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{16} + \frac{x^4}{32} - ...$

4次までの項を取ると、

$\frac{1}{2+x} \approx \frac{1}{2} - \frac{x}{4} + \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{16} + \frac{x^4}{32}$

3. 最終的な答え

(1) $cos(3x) \approx 1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4$

(2) $\frac{1}{2+x} \approx \frac{1}{2} - \frac{x}{4} + \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{16} + \frac{x^4}{32}$