広義積分 $\int_{1}^{\infty} xe^{-2x} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{1}^{\infty} xe^{-2x} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

広義積分なので、積分の上限を $t$ とおき、 $t \to \infty$ の極限を考える。

まず、不定積分 $\int xe^{-2x} dx$ を計算する。

これは部分積分を使って計算できる。

$u=x$, $dv=e^{-2x}dx$ とおくと、$du=dx$, $v=-\frac{1}{2}e^{-2x}$ となる。

したがって、

$\int xe^{-2x} dx = x \cdot (-\frac{1}{2}e^{-2x}) - \int (-\frac{1}{2}e^{-2x}) dx$

$= -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2}\int e^{-2x} dx$

$= -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}e^{-2x}) + C$

$= -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C$

次に、定積分 $\int_{1}^{t} xe^{-2x} dx$ を計算する。

$\int_{1}^{t} xe^{-2x} dx = [-\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x}]_{1}^{t}$

$= (-\frac{1}{2}te^{-2t} - \frac{1}{4}e^{-2t}) - (-\frac{1}{2}e^{-2} - \frac{1}{4}e^{-2})$

$= -\frac{1}{2}te^{-2t} - \frac{1}{4}e^{-2t} + \frac{1}{2}e^{-2} + \frac{1}{4}e^{-2}$

$= -\frac{1}{2}te^{-2t} - \frac{1}{4}e^{-2t} + \frac{3}{4}e^{-2}$

最後に、$t \to \infty$ の極限を考える。

$\lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} xe^{-2x} dx = \lim_{t \to \infty} (-\frac{1}{2}te^{-2t} - \frac{1}{4}e^{-2t} + \frac{3}{4}e^{-2})$

$\lim_{t \to \infty} te^{-2t} = \lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2t}}$ は $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2t}} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{2e^{2t}} = 0$

$\lim_{t \to \infty} e^{-2t} = 0$

したがって、

$\lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} xe^{-2x} dx = -\frac{1}{2}(0) - \frac{1}{4}(0) + \frac{3}{4}e^{-2} = \frac{3}{4}e^{-2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}e^{-2}$

または

$\frac{3}{4e^2}$