合成関数の微分を用いて $\frac{dz}{dt}$ を求めます。次の3つの場合について計算します。 (1) $z = xy^2 - x^2y$, $x = t^2$, $y = e^t$ (2) $z = \tan^{-1}(xy)$, $x = e^t + e^{-t}$, $y = e^{2t}$ (3) $z = e^{x^2y}$, $x = \cos t$, $y = t^2$

1. 問題の内容

合成関数の微分を用いて $\frac{dz}{dt}$ を求めます。次の3つの場合について計算します。

(1) $z = xy^2 - x^2y$, $x = t^2$, $y = e^t$

(2) $z = \tan^{-1}(xy)$, $x = e^t + e^{-t}$, $y = e^{2t}$

(3) $z = e^{x^2y}$, $x = \cos t$, $y = t^2$

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式より、

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

(1) $z = xy^2 - x^2y$, $x = t^2$, $y = e^t$

$\frac{\partial z}{\partial x} = y^2 - 2xy$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2xy - x^2$

$\frac{dx}{dt} = 2t$

$\frac{dy}{dt} = e^t$

したがって、

\frac{dz}{dt} = (y^2 - 2xy)(2t) + (2xy - x^2)(e^t) = (e^{2t} - 2t^2e^t)(2t) + (2t^2e^t - t^4)(e^t) = 2te^{2t} - 4t^3e^t + 2t^2e^t^ + - t^4e^t = 2te^{2t} - 4t^3e^t + 2t^2e^{2t} - t^4e^t

$\frac{dz}{dt} = 2te^{2t} + 2t^2e^{2t} - 4t^3e^t - t^4e^t$

(2) $z = \tan^{-1}(xy)$, $x = e^t + e^{-t}$, $y = e^{2t}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{1 + (xy)^2} = \frac{e^{2t}}{1 + (e^t + e^{-t})^2e^{4t}} = \frac{e^{2t}}{1 + (e^{2t} + 2 + e^{-2t})e^{4t}} = \frac{e^{2t}}{1 + e^{6t} + 2e^{4t} + e^{2t}}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{1 + (xy)^2} = \frac{e^t + e^{-t}}{1 + e^{6t} + 2e^{4t} + e^{2t}}$

$\frac{dx}{dt} = e^t - e^{-t}$

$\frac{dy}{dt} = 2e^{2t}$

したがって、

$\frac{dz}{dt} = \frac{e^{2t}(e^t - e^{-t}) + 2e^{2t}(e^t + e^{-t})}{1 + e^{6t} + 2e^{4t} + e^{2t}} = \frac{e^{3t} - e^t + 2e^{3t} + 2e^t}{1 + e^{6t} + 2e^{4t} + e^{2t}} = \frac{3e^{3t} + e^t}{1 + e^{6t} + 2e^{4t} + e^{2t}}$

(3) $z = e^{x^2y}$, $x = \cos t$, $y = t^2$

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2xye^{x^2y} = 2(\cos t)(t^2)e^{\cos^2(t)t^2} = 2t^2\cos t e^{t^2\cos^2 t}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = x^2e^{x^2y} = \cos^2(t)e^{\cos^2(t)t^2} = \cos^2 t e^{t^2\cos^2 t}$

$\frac{dx}{dt} = -\sin t$

$\frac{dy}{dt} = 2t$

したがって、

$\frac{dz}{dt} = (2t^2\cos t e^{t^2\cos^2 t})(-\sin t) + (\cos^2 t e^{t^2\cos^2 t})(2t) = -2t^2\cos t \sin t e^{t^2\cos^2 t} + 2t\cos^2 t e^{t^2\cos^2 t}$

$\frac{dz}{dt} = 2t\cos^2 t e^{t^2\cos^2 t} - 2t^2\cos t \sin t e^{t^2\cos^2 t} = 2t\cos t (\cos t - t\sin t) e^{t^2\cos^2 t}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dz}{dt} = 2te^{2t} + 2t^2e^{2t} - 4t^3e^t - t^4e^t$

(2) $\frac{dz}{dt} = \frac{3e^{3t} + e^t}{1 + e^{6t} + 2e^{4t} + e^{2t}}$

(3) $\frac{dz}{dt} = 2t\cos t (\cos t - t\sin t) e^{t^2\cos^2 t}$