放物線 $y = \frac{2}{3}x^2$ と直線で囲まれた図形の面積を求めよ。ただし、直線の $x$ 座標は $3$ とする。図形は放物線、直線、y軸で囲まれた三角形の領域である。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{2}{3}x^2$ と直線で囲まれた図形の面積を求めよ。ただし、直線の $x$ 座標は $3$ とする。図形は放物線、直線、y軸で囲まれた三角形の領域である。

2. 解き方の手順

まず、直線と放物線の交点の $y$ 座標を求める。$x = 3$ を $y = \frac{2}{3}x^2$ に代入する。

$y = \frac{2}{3} \cdot 3^2 = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$

したがって、直線と放物線の交点の座標は $(3, 6)$ である。

次に、三角形の面積を求める。三角形の底辺はy軸上の原点から(0,6)までの長さなので、底辺の長さは$6$である。

三角形の高さはx軸上の原点からx=3までの長さなので、高さは$3$である。

したがって、三角形の面積は、

$\frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$

3. 最終的な答え

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