与えられた定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3{\theta} d\theta$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3{\theta} d\theta$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\cos^3{\theta}$ を $\cos{\theta}$ と $\cos^2{\theta}$ の積に分解します。

次に、$\cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta}$ を用いて式を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3{\theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\theta} \cos^2{\theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\theta} (1 - \sin^2{\theta}) d\theta$

ここで、$u = \sin{\theta}$ と置換すると、$du = \cos{\theta} d\theta$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$\theta = 0$ のとき、$u = \sin{0} = 0$

$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、$u = \sin{\frac{\pi}{2}} = 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} (1 - u^2) du$

この積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (1 - u^2) du = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( 0 - \frac{0}{3} \right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$