関数 $y = \cos 2x + 2\sin x$ の $-\pi \le x < \pi$ における最大値と最小値を求め、その時の $x$ の値を答える問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos 2x + 2\sin x$ の $-\pi \le x < \pi$ における最大値と最小値を求め、その時の $x$ の値を答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $\sin x$ の関数として表します。

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を用いると、

$y = 1 - 2\sin^2 x + 2\sin x$

$t = \sin x$ とおくと、 $-\pi \le x < \pi$ より $-1 \le t \le 1$ であり、

$y = -2t^2 + 2t + 1$

$y = -2(t^2 - t) + 1$

$y = -2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2}$

よって、$t = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{3}{2}$ をとります。

$\sin x = \frac{1}{2}$ となる $x$ は、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ です。

また、$t = -1$ のとき最小値 $-2(-1 - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2} = -2(\frac{9}{4}) + \frac{3}{2} = -\frac{9}{2} + \frac{3}{2} = -3$ をとります。

$\sin x = -1$ となる $x$ は、$x = -\frac{\pi}{2}$ です。

したがって、

$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ のとき最大値 $\frac{3}{2}$ をとり、$x = -\frac{\pi}{2}$ のとき最小値 $-3$ をとります。

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{6}\pi, \frac{5}{6}\pi$ のとき最大値 $\frac{3}{2}$

$x = -\frac{1}{2}\pi$ のとき最小値 $-3$

ア: 1

イ: 6

ウ: 5

エ: 6

オ: -1

カ: 2

キク: -1

ケ: 2

コサ: -3