円 $(x+2)^2 + (y+1)^2 = 25$ と直線 $x - 2y + 5 = 0$ の共有点の座標を求める。ただし、$x$座標が小さい方から先に答える。

1. 問題の内容

円 $(x+2)^2 + (y+1)^2 = 25$ と直線 $x - 2y + 5 = 0$ の共有点の座標を求める。ただし、$x$座標が小さい方から先に答える。

2. 解き方の手順

まず、直線の方程式から $x$ を $y$ の式で表す。

$x = 2y - 5$

次に、この式を円の方程式に代入する。

$(2y - 5 + 2)^2 + (y+1)^2 = 25$

$(2y - 3)^2 + (y+1)^2 = 25$

$4y^2 - 12y + 9 + y^2 + 2y + 1 = 25$

$5y^2 - 10y + 10 = 25$

$5y^2 - 10y - 15 = 0$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

$(y - 3)(y + 1) = 0$

したがって、$y = 3$ または $y = -1$

$y = 3$ のとき、$x = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1$

$y = -1$ のとき、$x = 2(-1) - 5 = -2 - 5 = -7$

共有点の座標は $(1, 3)$ と $(-7, -1)$ である。

$x$座標が小さい方から答えるので、$(-7, -1)$ と $(1, 3)$ となる。

3. 最終的な答え

(x, y) = (-7, -1) (1, 3)