$x > 0$ のとき、不等式 $x + \frac{25}{x} \geq 10$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、不等式 $x + \frac{25}{x} \geq 10$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

まず、相加平均と相乗平均の関係を利用して、不等式を評価する。

$x > 0$、$\frac{25}{x} > 0$ より、相加平均と相乗平均の関係から、

$\frac{x + \frac{25}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{25}{x}}$

両辺に2を掛けると、

$x + \frac{25}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{25}{x}}$

$x + \frac{25}{x} \geq 2\sqrt{25}$

$x + \frac{25}{x} \geq 2 \cdot 5$

$x + \frac{25}{x} \geq 10$

等号が成り立つのは、$x = \frac{25}{x}$ のときである。

$x^2 = 25$

$x = \pm 5$

$x > 0$ より、$x = 5$

3. 最終的な答え

* ミ：2

* ムメ：10

* モヤ：25

* ユ：5