三角形ABCの内部の点Pと3頂点A, B, Cを結ぶ直線が対辺BC, CA, ABと交わる点をそれぞれD, E, Fとする。BD:DC=2:3, AP:PD=x:y, BP:PE=s:t, FP:PA=1:2であるとき、CE/EAを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCの内部の点Pと3頂点A, B, Cを結ぶ直線が対辺BC, CA, ABと交わる点をそれぞれD, E, Fとする。BD:DC=2:3, AP:PD=x:y, BP:PE=s:t, FP:PA=1:2であるとき、CE/EAを求めよ。

2. 解き方の手順

チェバの定理より、

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

メネラウスの定理を三角形ADCと直線BPについて適用すると、

$\frac{AB}{BF} \cdot \frac{FP}{PC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CP}{PA} \cdot \frac{AE}{EB}=1$

メネラウスの定理を三角形ABDと直線CPについて適用すると、

$\frac{BC}{CD} \cdot \frac{DP}{PA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

与えられた条件 BD:DC = 2:3とFP:PA = 1:2を用いて、チェバの定理またはメネラウスの定理からCE/EAを求める。

まず、チェバの定理を適用します。

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{CE}{EA} = \frac{3}{2}$ ...(1)

次に、メネラウスの定理を三角形ABFと直線PCについて適用します。

$\frac{AP}{PF} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DE}{EA}=1$

$\frac{BC}{CD} = \frac{BD + DC}{DC} = \frac{2+3}{3} = \frac{5}{3}$

$\frac{AE}{EC}\cdot \frac{CP}{PF} \cdot \frac{FB}{BA} = 1$

メネラウスの定理より、

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA}=1$

$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA}= 1$

$BD/DC=2/3$. $\frac{2 AF}{3FB}\frac{CE}{AE}= 1$

$\frac{CE}{AE} = \frac{3}{2} \frac{FB}{AF}$

点Pが三角形の内点にあるので，

チェバの定理より$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB}=1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB}=1$

メネラウスの定理より

$\frac{FP}{PA} \cdot \frac{AE}{EC} \cdot \frac{CB}{BD}=1$

$\frac{1}{2}\frac{AE}{EC}\cdot\frac{5}{2}=1$

$\frac{AE}{EC}=\frac{4}{5}$

$\frac{CE}{EA}=\frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{CE}{EA} = \frac{5}{4}$