三角形ABCにおいて、$a:b:c = 7:8:9$であり、面積が$12\sqrt{5}$であるとき、以下の値を求めます。 (1) $\cos C$ (2) $\sin C$ (3) $a, b, c$ (4) 外接円の半径 $R$ (5) 内接円の半径 $r$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a:b:c = 7:8:9$であり、面積が$12\sqrt{5}$であるとき、以下の値を求めます。

(1) $\cos C$

(2) $\sin C$

(3) $a, b, c$

(4) 外接円の半径 $R$

(5) 内接円の半径 $r$

2. 解き方の手順

(1) $\cos C$ を求める。

余弦定理より、$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$。

$a:b:c = 7:8:9$なので、$a = 7k$, $b = 8k$, $c = 9k$ とおける。

これを代入して、

$\cos C = \frac{(7k)^2 + (8k)^2 - (9k)^2}{2(7k)(8k)} = \frac{49k^2 + 64k^2 - 81k^2}{112k^2} = \frac{32k^2}{112k^2} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7}$

(2) $\sin C$ を求める。

$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$ より、

$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - (\frac{2}{7})^2 = 1 - \frac{4}{49} = \frac{45}{49}$

$\sin C > 0$ より、$\sin C = \sqrt{\frac{45}{49}} = \frac{\sqrt{45}}{7} = \frac{3\sqrt{5}}{7}$

(3) $a, b, c$ を求める。

三角形の面積 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ より、

$12\sqrt{5} = \frac{1}{2}(7k)(8k)(\frac{3\sqrt{5}}{7}) = 12k^2(3\sqrt{5}/7) = 12k^2 \cdot \frac{3\sqrt{5}}{7}$

$12 \sqrt{5} = 12 k^2 \frac{3\sqrt{5}}{7}$

$1 = k^2 \frac{3}{7}$

$k^2 = \frac{7}{3}$

$k = \sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$

$a = 7k = \frac{7\sqrt{21}}{3}$

$b = 8k = \frac{8\sqrt{21}}{3}$

$c = 9k = \frac{9\sqrt{21}}{3} = 3\sqrt{21}$

(4) 外接円の半径 $R$ を求める。

正弦定理より、$\frac{c}{\sin C} = 2R$

$R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{3\sqrt{21}}{2(\frac{3\sqrt{5}}{7})} = \frac{3\sqrt{21} \cdot 7}{6\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{21}}{2\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{105}}{10}$

(5) 内接円の半径 $r$ を求める。

$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$

$12\sqrt{5} = \frac{1}{2}r(\frac{7\sqrt{21}}{3} + \frac{8\sqrt{21}}{3} + 3\sqrt{21}) = \frac{1}{2}r(\frac{7\sqrt{21} + 8\sqrt{21} + 9\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{2}r(\frac{24\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{2}r(8\sqrt{21}) = 4\sqrt{21}r$

$r = \frac{12\sqrt{5}}{4\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{105}}{21} = \frac{\sqrt{105}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos C = \frac{2}{7}$

(2) $\sin C = \frac{3\sqrt{5}}{7}$

(3) $a = \frac{7\sqrt{21}}{3}$, $b = \frac{8\sqrt{21}}{3}$, $c = 3\sqrt{21}$

(4) $R = \frac{7\sqrt{105}}{10}$

(5) $r = \frac{\sqrt{105}}{7}$