ベクトル $\vec{a} = (-4, 3)$ と $\vec{b} = (3, 1)$ に対して、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値を求め、そのときの $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ のなす角を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-4, 3)$ と $\vec{b} = (3, 1)$ に対して、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値を求め、そのときの $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ のなす角を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} + t\vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} + t\vec{b} = (-4, 3) + t(3, 1) = (-4 + 3t, 3 + t)$

次に、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ を計算します。

$|\vec{a} + t\vec{b}| = \sqrt{(-4 + 3t)^2 + (3 + t)^2} = \sqrt{16 - 24t + 9t^2 + 9 + 6t + t^2} = \sqrt{10t^2 - 18t + 25}$

$|\vec{a} + t\vec{b}|$ が最小になるのは、$\sqrt{10t^2 - 18t + 25}$ の中身が最小になるときなので、$f(t) = 10t^2 - 18t + 25$ とおき、これを最小にする $t$ を求めます。

$f(t)$ は下に凸な二次関数なので、頂点の $t$ 座標で最小値をとります。

$f(t) = 10(t^2 - \frac{9}{5}t) + 25 = 10(t - \frac{9}{10})^2 - 10(\frac{9}{10})^2 + 25 = 10(t - \frac{9}{10})^2 - \frac{81}{10} + \frac{250}{10} = 10(t - \frac{9}{10})^2 + \frac{169}{10}$

したがって、$t = \frac{9}{10}$ のとき、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ は最小値 $\sqrt{\frac{169}{10}} = \frac{13}{\sqrt{10}} = \frac{13\sqrt{10}}{10}$ をとります。

次に、$t = \frac{9}{10}$ のときの $\vec{a} + t\vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} + \frac{9}{10}\vec{b} = (-4 + 3(\frac{9}{10}), 3 + \frac{9}{10}) = (-4 + \frac{27}{10}, \frac{30}{10} + \frac{9}{10}) = (-\frac{40}{10} + \frac{27}{10}, \frac{39}{10}) = (-\frac{13}{10}, \frac{39}{10})$

$\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると、内積の定義より、

$(\vec{a} + t\vec{b}) \cdot \vec{b} = |\vec{a} + t\vec{b}||\vec{b}| \cos{\theta}$

$(-\frac{13}{10}, \frac{39}{10}) \cdot (3, 1) = \frac{13}{\sqrt{10}} \sqrt{3^2 + 1^2} \cos{\theta}$

$-\frac{39}{10} + \frac{39}{10} = \frac{13}{\sqrt{10}} \sqrt{10} \cos{\theta}$

$0 = 13 \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = 0$

$\theta = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値: $\frac{13\sqrt{10}}{10}$

$\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ のなす角: $\frac{\pi}{2}$