四角形ABCDにおいて、$AB=1+\sqrt{2}$、$BC=2$、$CD=\sqrt{6}$、$\angle ABC = 45^\circ$、$\cos \angle ADC = \frac{\sqrt{3}}{6}$が与えられている。このとき、$AC$、$cos\angle ACB$、$sin\angle CAD$、$\triangle ACD$の外接円の半径、$AD$の長さ、四角形ABCDの面積、および$AD = サ$のときの線分ACと線分BDのなす鋭角$\theta$を用いて、$BD$の長さを求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$AB=1+\sqrt{2}$、$BC=2$、$CD=\sqrt{6}$、$\angle ABC = 45^\circ$、$\cos \angle ADC = \frac{\sqrt{3}}{6}$が与えられている。このとき、$AC$、$cos\angle ACB$、$sin\angle CAD$、$\triangle ACD$の外接円の半径、$AD$の長さ、四角形ABCDの面積、および$AD = サ$のときの線分ACと線分BDのなす鋭角$\theta$を用いて、$BD$の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$において、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$AC^2 = (1+\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2(1+\sqrt{2})(2) \cos 45^\circ$

$AC^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 + 4 - 4(1+\sqrt{2})\frac{\sqrt{2}}{2}$

$AC^2 = 7 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}(1+\sqrt{2}) = 7 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 4 = 3$

$AC = \sqrt{3}$

(2) $\triangle ABC$において、正弦定理より

$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{BC}{\sin \angle BAC}$

$\frac{\sqrt{3}}{\sin 45^\circ} = \frac{2}{\sin \angle BAC}$

$\sin \angle BAC = \frac{2 \sin 45^\circ}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\triangle ABC$において、$\angle ACB$を求めると、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC cos \angle ABC$

$\sqrt{3}^2 = (1+\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2(1+\sqrt{2})(2)cos \angle ABC$

$3 = (1+2+2\sqrt{2}) + 4 - 4(1+\sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos \angle ACB = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC}$

$= \frac{(\sqrt{3})^2 + 2^2 - (1+\sqrt{2})^2}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2} = \frac{3+4-(1+2+2\sqrt{2})}{4\sqrt{3}} = \frac{4-2\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6}$

(3) 四角形ABCDにおいて、$\angle ADC = \theta$とおくと、$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{6}$。

$AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cos \theta = AC^2$

$AD^2 + (\sqrt{6})^2 - 2AD \sqrt{6} \frac{\sqrt{3}}{6} = (\sqrt{3})^2$

$AD^2 + 6 - 2AD \sqrt{18}/6 = 3$

$AD^2 - AD \sqrt{2} + 3 = 0$

$AD = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4(3)}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{-10}}{2}$

$\cos \angle ADC = \frac{\sqrt{3}}{6}$より、$\sin \angle ADC = \sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{6})^2} = \sqrt{1-\frac{3}{36}} = \sqrt{\frac{33}{36}} = \frac{\sqrt{33}}{6}$

$\frac{AC}{\sin \angle ADC} = 2R$

$2R = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{33}}{6}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{33}} = \frac{6\sqrt{11}}{11}$

$R = \frac{3\sqrt{11}}{11}$

$AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cos \angle ADC = AC^2$

$AD^2 + 6 - 2AD \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} = 3$

$AD^2 - \sqrt{2} AD + 3 = 0$

$AD = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2-12}}{2}$

$AD^2 - (\sqrt{6})^2 = -3+ \sqrt{3AD}$

$\cos \angle ADC = \frac{\sqrt{3}}{6}$。$AD^2 + CD^2 -2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle ADC = AC^2$

$AD^2 + (\sqrt{6})^2 - 2AD \cdot (\sqrt{6}) \frac{\sqrt{3}}{6} = (\sqrt{3})^2$

$AD^2 + 6 - \frac{\sqrt{18}}{3} AD = 3$

$AD^2 - AD \sqrt{2} + 3 = 0$

$AD = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2-12}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{-10}{4}}$

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cos \angle ADC$

ADの候補は$AD= \sqrt{2} \pm i$の形なので計算を見直します。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$AB=1+\sqrt{2}$, $BC=2$, $CD=\sqrt{6}$, $\angle ABC=45^{\circ}$, $\cos \angle ADC=\frac{\sqrt{3}}{6}$とする。このとき、$AC$, $\cos \angle ACB$, $\sin \angle CAD$, $\triangle ACD$の外接円の半径, $AD$の長さ, 四角形ABCDの面積, および$AD=サ$のとき線分ACと線分BDのなす鋭角を$\theta$とするとき線分BDの長さを$\theta$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$に余弦定理を用いると

$AC^2 = (1+\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2(1+\sqrt{2})2\cos 45^{\circ}$

$= 1+2\sqrt{2}+2 + 4 - 4(1+\sqrt{2})\frac{\sqrt{2}}{2} = 7 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 4 = 3$

$AC = \sqrt{3}$

(2) $\triangle ACD$に余弦定理を用いると

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD\cdot CD \cdot \cos \angle ADC$

$3 = AD^2 + 6 - 2AD\sqrt{6}\frac{\sqrt{3}}{6}$

$3 = AD^2 + 6 - \sqrt{2}AD$

$AD^2 - \sqrt{2}AD + 3 = 0$

解の公式より$AD = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2-12}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{10}}{2}$

問題がおかしい気がする。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$