問題は、三角比と図形に関する6つの小問から構成されています。具体的には、三角関数の性質、三角比の値、正弦定理、余弦定理、三角形の面積の計算などが出題されています。

1. 問題の内容

問題は、三角比と図形に関する6つの小問から構成されています。具体的には、三角関数の性質、三角比の値、正弦定理、余弦定理、三角形の面積の計算などが出題されています。

2. 解き方の手順

以下、各小問ごとに解き方と解答を示します。

(3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ において、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の値をすべて求めます。

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = 60^\circ$ と $\theta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ です。

(4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 45^\circ$、$\triangle ABC$ の外接円の半径が5のとき、$BC$ の長さを求めます。

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = 2R$ なので、$BC = 2R \sin A$ となります。

$BC = 2 \times 5 \times \sin 45^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$

(5) 右の図のように、$\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $BC = 3$, $\angle B = 60^\circ$ のとき、$AC$ の長さを求めます。

余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos B$ なので、$AC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \times 5 \times 3 \times \cos 60^\circ$ となります。

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ なので、$AC^2 = 25 + 9 - 2 \times 5 \times 3 \times \frac{1}{2} = 34 - 15 = 19$

$AC = \sqrt{19}$

(6) 右の図のように、$\triangle ABC$ において、$AB = 4$, $AC = 7$, $\angle A = 60^\circ$ のとき、$\triangle ABC$ の面積を求めます。

三角形の面積の公式より、$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A$ なので、$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times 4 \times 7 \times \sin 60^\circ$ となります。

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times 4 \times 7 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(3) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$

(4) $BC = 5\sqrt{2}$

(5) $AC = \sqrt{19}$

(6) $\triangle ABC = 7\sqrt{3}$