$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ において、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の値を全て求めよ。

はい、数学の問題を解きましょう。

**(3) の問題**

1. 問題の内容

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ において、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の値を全て求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、単位円を考えると、$60^\circ$ と $120^\circ$ である。

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲なので、$\theta = 60^\circ, 120^\circ$ が答え。

3. 最終的な答え

$\theta = 60^\circ, 120^\circ$

**(4) の問題**

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$\angle A = 45^\circ$ であり、$\triangle ABC$ の外接円の半径が $\sqrt{5}$ のとき、辺 $BC$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = 2R$ である。ここで、$R$ は外接円の半径である。

$BC = 2R \sin A$

$BC = 2 \sqrt{5} \sin 45^\circ$

$BC = 2 \sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$BC = \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$BC = \sqrt{10}$

**(5) の問題**

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $BC = 3$, $\angle B = 60^\circ$ のとき、$AC$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$ である。

$AC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ$

$AC^2 = 25 + 9 - 30 \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 34 - 15$

$AC^2 = 19$

$AC = \sqrt{19}$

3. 最終的な答え

$AC = \sqrt{19}$

**(6) の問題**

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB = 4$, $AC = 7$, $\angle A = 60^\circ$ のとき、$\triangle ABC$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

$\triangle ABC$ の面積は $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$ で求められる。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \sin 60^\circ$

$\triangle ABC = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\triangle ABC = 7\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\triangle ABC = 7\sqrt{3}$