与えられた三角比の値から別の三角比の値を求めたり、三角形の辺の長さや角度、面積を求める問題です。全部で6つの小問があります。

1. 問題の内容

与えられた三角比の値から別の三角比の値を求めたり、三角形の辺の長さや角度、面積を求める問題です。全部で6つの小問があります。

2. 解き方の手順

(1) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\cos\theta = -\frac{2}{5}$ のとき、$\tan\theta$ を求めます。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \left(-\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ より、$\sin\theta > 0$ なので、$\sin\theta = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$

したがって、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac{2}{5}} = -\frac{\sqrt{21}}{2}$

(2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan\theta = -5$ のとき、$\cos\theta$ を求めます。

$\frac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \tan^2\theta$ より、$\frac{1}{\cos^2\theta} = 1 + (-5)^2 = 1 + 25 = 26$

$\cos^2\theta = \frac{1}{26}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ で $\tan\theta = -5 < 0$ なので、$90^\circ < \theta < 180^\circ$。したがって、$\cos\theta < 0$。

よって、$\cos\theta = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26}$

(3) $\triangle ABC$ において、$\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $CA = 2$ のとき、$AB$ を求めます。

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$

$\frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{2}{\sin 30^\circ}$

$AB = \frac{2 \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2}$

(4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 120^\circ$, $AB = \sqrt{6}$, $BC = 3\sqrt{2}$ のとき、$\angle C$ を求めます。

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

$\frac{3\sqrt{2}}{\sin 120^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin C}$

$\sin C = \frac{\sqrt{6} \sin 120^\circ}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{18}}{6\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

$0^\circ < \angle C < 180^\circ$ より、$\angle C = 30^\circ$ または $\angle C = 150^\circ$

しかし、$\angle A + \angle C < 180^\circ$ でなければならないので、$\angle C = 30^\circ$

(5) $\triangle ABC$ において、$AB = 7$, $BC = 8$, $CA = 6$ のとき、$\cos A$ と $\triangle ABC$ の面積を求めます。

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

$8^2 = 7^2 + 6^2 - 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cos A$

$64 = 49 + 36 - 84 \cos A$

$84 \cos A = 49 + 36 - 64 = 21$

$\cos A = \frac{21}{84} = \frac{1}{4}$

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin A = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\triangle ABC$ の面積 $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CA \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{42\sqrt{15}}{8} = \frac{21\sqrt{15}}{4}$

(6) 四面体 $PABC$ において、$PC = 4$, $\angle ACB = 120^\circ$, $\angle PCA = \angle PCB = 90^\circ$, $\angle PAC = \angle PBC = 45^\circ$ のとき、$AB$ を求めます。

$\triangle PAC$ において、$\angle PCA = 90^\circ$, $\angle PAC = 45^\circ$ より、$\angle APC = 45^\circ$。よって、$\triangle PAC$ は直角二等辺三角形。

$AC = PC = 4$

同様に、$\triangle PBC$ において、$BC = PC = 4$

$\triangle ABC$ において、余弦定理より、$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$

$AB^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ = 16 + 16 - 32 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 32 + 16 = 48$

$AB = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\tan\theta = -\frac{\sqrt{21}}{2}$

(2) $\cos\theta = -\frac{\sqrt{26}}{26}$

(3) $AB = 2\sqrt{2}$

(4) $\angle C = 30^\circ$

(5) $\cos A = \frac{1}{4}$, $\triangle ABC$ の面積は $\frac{21\sqrt{15}}{4}$

(6) $AB = 4\sqrt{3}$