2次方程式 $x^2 + 2(m-3)x + 4m = 0$ が与えられています。この方程式が、(1) 異なる2つの正の解を持つとき、(2) 異なる2つの負の解を持つとき、それぞれの場合における定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2(m-3)x + 4m = 0$ が与えられています。この方程式が、(1) 異なる2つの正の解を持つとき、(2) 異なる2つの負の解を持つとき、それぞれの場合における定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式の判別式 $D$、2つの解の和 $S$、2つの解の積 $P$ を計算します。

判別式 $D$:

$D/4 = (m-3)^2 - 4m = m^2 - 6m + 9 - 4m = m^2 - 10m + 9$

2つの解の和 $S$:

$S = -2(m-3) = -2m + 6$

2つの解の積 $P$:

$P = 4m$

(1) 異なる2つの正の解を持つ場合:

このためには、次の3つの条件が必要です。

* $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

* $S > 0$ (解の和が正)

* $P > 0$ (解の積が正)

それぞれの条件を解きます。

$D > 0 \Rightarrow m^2 - 10m + 9 > 0 \Rightarrow (m-1)(m-9) > 0$

したがって、$m < 1$ または $m > 9$

$S > 0 \Rightarrow -2m + 6 > 0 \Rightarrow 2m < 6 \Rightarrow m < 3$

$P > 0 \Rightarrow 4m > 0 \Rightarrow m > 0$

これら3つの条件を全て満たす $m$ の範囲は、$0 < m < 1$ です。

(2) 異なる2つの負の解を持つ場合:

このためには、次の3つの条件が必要です。

* $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

* $S < 0$ (解の和が負)

* $P > 0$ (解の積が正)

$D > 0$ は (1) と同じで、$m < 1$ または $m > 9$

$S < 0 \Rightarrow -2m + 6 < 0 \Rightarrow 2m > 6 \Rightarrow m > 3$

$P > 0 \Rightarrow 4m > 0 \Rightarrow m > 0$

これら3つの条件を全て満たす $m$ の範囲は、$m > 9$ です。

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの正の解を持つとき: $0 < m < 1$

(2) 異なる2つの負の解を持つとき: $m > 9$