数列 $a_n$ が $a_n = (-\frac{1}{2})^n$ で定義されるとき、和 $a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n+1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が $a_n = (-\frac{1}{2})^n$ で定義されるとき、和 $a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n+1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた数列の奇数番目の項の和を求める問題です。この数列の奇数番目の項だけを取り出すと、初項が $a_1 = -\frac{1}{2}$、公比が $r = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ の等比数列になります。

$a_1, a_3, a_5, \dots, a_{2n+1}$ は、初項 $a_1 = -\frac{1}{2}$、公比 $r=\frac{1}{4}$、項数 $n+1$ の等比数列です。

等比数列の和の公式は、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

ここで、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数です。

この問題では、$a = -\frac{1}{2}$、$r = \frac{1}{4}$、$n$ は $n+1$ なので、等比数列の和は、

$S_{n+1} = \frac{-\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{4})^{n+1})}{1-\frac{1}{4}}$

これを整理すると、

$S_{n+1} = \frac{-\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{4})^{n+1})}{\frac{3}{4}}$

$S_{n+1} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} (1-(\frac{1}{4})^{n+1})$

$S_{n+1} = -\frac{2}{3} (1-(\frac{1}{4})^{n+1})$

$S_{n+1} = -\frac{2}{3} + \frac{2}{3}(\frac{1}{4})^{n+1}$

3. 最終的な答え

$a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n+1} = -\frac{2}{3} + \frac{2}{3} (\frac{1}{4})^{n+1}$