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次の2つの関数の最大値と最小値を調べる問題です。 ① $y = 4x^2 + 2$ ② $y = (x+3)^2 - 5$

代数学二次関数最大値最小値放物線
2025/8/2

1. 問題の内容

次の2つの関数の最大値と最小値を調べる問題です。
① y=4x2+2y = 4x^2 + 2
② y=(x+3)2−5y = (x+3)^2 - 5

2. 解き方の手順

① y=4x2+2y = 4x^2 + 2 の場合：
- この関数は、上に凸の放物線です。
- x2x^2 の係数が正であるため、下に凸の放物線です。つまり、最小値はありますが、最大値はありません。
- 最小値を求めるには、x2x^2 が最小になる場合を考えます。x2x^2 は常に0以上なので、x2=0x^2 = 0 のとき最小値を取ります。
- x=0x = 0 のとき、y=4(0)2+2=2y = 4(0)^2 + 2 = 2 となります。
- したがって、最小値は 22 です。最大値はありません。
② y=(x+3)2−5y = (x+3)^2 - 5 の場合：
- この関数も、上に凸の放物線です。
- (x+3)2(x+3)^2 の係数が正であるため、下に凸の放物線です。つまり、最小値はありますが、最大値はありません。
- 最小値を求めるには、(x+3)2(x+3)^2 が最小になる場合を考えます。(x+3)2(x+3)^2 は常に0以上なので、(x+3)2=0(x+3)^2 = 0 のとき最小値を取ります。
- x+3=0x+3 = 0 より、x=−3x = -3 のとき最小値を取ります。
- x=−3x = -3 のとき、y=(−3+3)2−5=02−5=−5y = (-3+3)^2 - 5 = 0^2 - 5 = -5 となります。
- したがって、最小値は −5-5 です。最大値はありません。

3. 最終的な答え

① y=4x2+2y = 4x^2 + 2 の場合：
- 最小値: 2
- 最大値: なし
② y=(x+3)2−5y = (x+3)^2 - 5 の場合：
- 最小値: -5
- 最大値: なし

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