定義域 $0 \le x \le 3$ において、関数 $f(x) = ax^2 - 2ax + b$ の最大値が9、最小値が1であるとき、定数 $a$、$b$ の値を求める。

1. 問題の内容

定義域 $0 \le x \le 3$ において、関数 $f(x) = ax^2 - 2ax + b$ の最大値が9、最小値が1であるとき、定数 $a$、$b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = a(x^2 - 2x) + b$

$f(x) = a(x^2 - 2x + 1 - 1) + b$

$f(x) = a((x-1)^2 - 1) + b$

$f(x) = a(x-1)^2 - a + b$

軸は $x=1$ である。定義域 $0 \le x \le 3$ に軸が含まれるため、$a$ の正負によって場合分けを行う。

(1) $a > 0$ のとき

下に凸のグラフになるため、$x=1$ で最小値を取り、$x=3$ で最大値を取る。

最小値: $f(1) = -a + b = 1$

最大値: $f(3) = 9a - 6a + b = 3a + b = 9$

連立方程式を解く。

$-a + b = 1$

$3a + b = 9$

上の式から下の式を引くと、

$4a = 8$

$a = 2$

$-2 + b = 1$

$b = 3$

(2) $a < 0$ のとき

上に凸のグラフになるため、$x=1$ で最大値を取り、$x=3$ または $x=0$ で最小値を取る。

最大値: $f(1) = -a + b = 9$

最小値:

$f(0) = b$

$f(3) = 3a + b$

軸 $x=1$ から $x=0$ と $x=3$ は等距離なので、$f(0) = f(3)$.

したがって、$f(0) = b = 1$ が最小値となる。

$-a + b = 9$

$b = 1$

$-a + 1 = 9$

$a = -8$

3. 最終的な答え

(1) $a > 0$ のとき: $a=2$, $b=3$

(2) $a < 0$ のとき: $a=-8$, $b=1$