与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解き、解を列ベクトルで表す問題です。問題は(1)と(2)の2つあります。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解き、解を列ベクトルで表す問題です。問題は(1)と(2)の2つあります。

2. 解き方の手順

(1)

連立一次方程式

$x + 2y + 3z = 3$

$x + 3y + 4z = 4$

$2x + 4y + 7z = 6$

まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 & 3 \\

1 & 3 & 4 & 4 \\

2 & 4 & 7 & 6

\end{bmatrix}$

1行目を-1倍して2行目に足し、1行目を-2倍して3行目に足します。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 & 3 \\

0 & 1 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0

\end{bmatrix}$

2行目を-2倍して1行目に足します。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0

\end{bmatrix}$

3行目を-1倍して1行目に足し、3行目を-1倍して2行目に足します。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0

\end{bmatrix}$

したがって、$x = 1, y = 1, z = 0$

(2)

連立一次方程式

$x - z = 1$

$2x + y = 3$

$3x + 2y + z = 5$

まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 1 \\

2 & 1 & 0 & 3 \\

3 & 2 & 1 & 5

\end{bmatrix}$

1行目を-2倍して2行目に足し、1行目を-3倍して3行目に足します。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{bmatrix}$

2行目を-2倍して3行目に足します。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

したがって、$x - z = 1$ より $x = z + 1$

$y + 2z = 1$ より $y = 1 - 2z$

解は、$x = z + 1, y = 1 - 2z, z = z$（$z$は任意の値）

$z = t$とおくと、

$x = t + 1, y = 1 - 2t, z = t$

3. 最終的な答え

(1)

$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

(2)

$\begin{bmatrix} t + 1 \\ 1 - 2t \\ t \end{bmatrix}$ (tは任意の実数)