与えられた二つの行列の行列式を計算します。一つは $3 \times 3$ の行列、もう一つは $4 \times 4$ の行列です。

1. 問題の内容

与えられた二つの行列の行列式を計算します。一つは $3 \times 3$ の行列、もう一つは $4 \times 4$ の行列です。

2. 解き方の手順

(1) $3 \times 3$ 行列の行列式を計算する。

行列式は以下の式で計算できます。

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\begin{vmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

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与えられた行列は

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\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9

\end{vmatrix}

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行列式を計算すると、

$1(5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35) = 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) = -3 + 12 - 9 = 0$

(2) $4 \times 4$ 行列の行列式を計算する。

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\begin{vmatrix}

1 & 4 & 1 & 4 \\

2 & 1 & 3 & 5 \\

6 & 2 & 3 & 7 \\

3 & 0 & 9 & 5

\end{vmatrix}

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まず、計算を簡単にするために、4行目を用いて展開します。

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3 \cdot C_{41} + 0 \cdot C_{42} + 9 \cdot C_{43} + 5 \cdot C_{44}

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ここで、$C_{ij}$ は $i$ 行 $j$ 列の余因子を表します。したがって、

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= 3 \cdot (-1)^{4+1} \begin{vmatrix} 4 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \end{vmatrix} + 9 \cdot (-1)^{4+3} \begin{vmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 2 & 1 & 5 \\ 6 & 2 & 7 \end{vmatrix} + 5 \cdot (-1)^{4+4} \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 6 & 2 & 3 \end{vmatrix}

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それぞれの $3 \times 3$ 行列式を計算します。

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\begin{vmatrix} 4 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \end{vmatrix} = 4(3 \cdot 7 - 5 \cdot 3) - 1(1 \cdot 7 - 5 \cdot 2) + 4(1 \cdot 3 - 3 \cdot 2) = 4(21-15) - 1(7-10) + 4(3-6) = 4(6) - 1(-3) + 4(-3) = 24 + 3 - 12 = 15

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\begin{vmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 2 & 1 & 5 \\ 6 & 2 & 7 \end{vmatrix} = 1(1 \cdot 7 - 5 \cdot 2) - 4(2 \cdot 7 - 5 \cdot 6) + 4(2 \cdot 2 - 1 \cdot 6) = 1(7-10) - 4(14-30) + 4(4-6) = 1(-3) - 4(-16) + 4(-2) = -3 + 64 - 8 = 53

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\begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 6 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(1 \cdot 3 - 3 \cdot 2) - 4(2 \cdot 3 - 3 \cdot 6) + 1(2 \cdot 2 - 1 \cdot 6) = 1(3-6) - 4(6-18) + 1(4-6) = 1(-3) - 4(-12) + 1(-2) = -3 + 48 - 2 = 43

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したがって、

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= 3 \cdot (-1) \cdot 15 + 9 \cdot (-1) \cdot 53 + 5 \cdot 1 \cdot 43 = -45 - 477 + 215 = -307

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3. 最終的な答え

(1) 0

(2) -307