2次不等式 $-2x^2 + kx - k < 0$ の解がすべての実数となるとき、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次不等式 $-2x^2 + kx - k < 0$ の解がすべての実数となるとき、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次不等式 $-2x^2 + kx - k < 0$ の解がすべての実数となる条件を考える。

まず、両辺に $-1$ をかけて、$2x^2 - kx + k > 0$ とする。

この不等式がすべての実数 $x$ について成り立つためには、2次関数 $y = 2x^2 - kx + k$ のグラフが常に $x$ 軸より上にある必要がある。つまり、この2次関数の判別式 $D$ が $D < 0$ である必要がある。

判別式 $D$ は、

$D = (-k)^2 - 4(2)(k) = k^2 - 8k$

である。

したがって、$k^2 - 8k < 0$ を解く。

$k(k - 8) < 0$

となるので、$0 < k < 8$ が解となる。

3. 最終的な答え

$0 < k < 8$