9個のマスに1から9までの異なる整数を1つずつ入れます。縦、横、斜めに並んだ3つのマスの数の和はすべて15です。中央のマスに7が入っているとき、マスa, c, d, f に入る数の和を求めなさい。

1. 問題の内容

9個のマスに1から9までの異なる整数を1つずつ入れます。縦、横、斜めに並んだ3つのマスの数の和はすべて15です。中央のマスに7が入っているとき、マスa, c, d, f に入る数の和を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件から、マスの中央に7が入っていることから、対角線上にあるマス (例えば、左上から右下への対角線) の和が15になることを利用します。

$a + 7 + i = 15$

$c + 7 + g = 15$

また、真ん中の列の和も15になるので

$7 + e + h = 15$

これから $e + h = 8$ がわかります。

全体の和は $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$ です。

縦の列の和はすべて15なので

$(a + d + g) + (7 + e + h) + (c + f + i) = 15 + 15 + 15 = 45$

$a + d + g + 7 + e + h + c + f + i = 45$

$a + c + d + f + g + h + i + 7 = 45$

一方、$e+h = 8$なので、$e = 8 - h$となります。

$a + 7 + c = 15$より、$a + c = 8$

$d + e + f = 15$ より、$d + f = 15 - e = 15 - (8 - h) = 7 + h$

斜めの和が15になる条件より、$g + e + c = 15$となり、$g + c = 15 - e = 7 + h$

$a + e + i = 15$より、$a + i = 15 - e = 7 + h$

マスに入る数字は1から9までなので、使われていない数字は1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9のいずれかです。

ここで、$a + c + d + f$を求めたいので、他の条件も考えます。

各行と各列の和は15です。

1から9までの数の合計は45です。

$a+7+c=15$ なので $a+c=8$

$d+e+f=15$

$g+h+i=15$

$a+d+g=15$

$7+e+h=15$ なので $e+h=8$

$c+f+i=15$

$a+e+i=15$

$c+e+g=15$

$a+c+d+f = (a+c) + (d+f) = 8 + d+f$

$d+e+f=15$ なので、 $d+f=15-e$

$e+h=8$なので $e=8-h$

$d+f=15-e=15-(8-h)=7+h$

$a+c+d+f=8+7+h=15+h$

$g+h+i=15$

$1,2,3,4,5,6,8,9$の中で$e, h$はどの数字でしょうか。

$e+h=8$を満たす組み合わせは $(1,7), (2,6), (3,5)$です。

しかし、$e \ne 7$ と $h \ne 7$なので $(1,7)$ は除外されます。

$e$は真ん中のマスなので、$e = 5$ と推測できます。

$e=5$ならば $h = 3$ となります。

このとき、$a+c = 8$, $d+f=10$, $g+i=12$

$a,c,d,f,g,i$ は $1, 2, 4, 6, 8, 9$ のいずれかです。

$a+c=8$を満たすものは $(1,7)$ や $(2,6)$ や $(3,5)$ などですが、$7, 5, 3$はすでに使われているので $(2,6)$ がありえます。

$d+f=10$を満たすものは $(1,9)$ や $(2,8)$ や $(3,7)$ や $(4,6)$ですが、$3,7$ は使われているので $(1,9)$ や $(4,6)$ がありえます。

$g+i=12$を満たすものは $(3,9)$ や $(4,8)$ や $(5,7)$ や $(6,6)$ですが、$3,5,7,6$ は使われているので $(4,8)$ がありえます。

$a+c=2+6=8$, $d+f=4+6=10$, $g+i=4+8=12$

$a=2, c=6, d=4, f=6$.しかし、$c,f$が同じなのでこれはありえない

$a+c=2+6=8$, $d+f=1+9=10$, $g+i=4+8=12$

$a+c+d+f = 8 + 7 + h = 15 + h$.

$e=2$, $h=6$, $d+f=13$ $g+i=9$, $a+c=8$

$a, c, d, f, g, i$ = {$1,3,4,5,8,9$}

$d+f = 1+4$

最終的に $a + c + d + f = 15 + h$ であり、$h$ は $1$ から $9$ の整数なので、$h=4$の時、$a+c+d+f=19$

3. 最終的な答え

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