与えられた条件 $F'(x) = -4x + 5$ と $F(-1) = -9$ を満たす関数 $F(x)$ を求める。

解析学微分積分不定積分初期条件
2025/4/5

1. 問題の内容

与えられた条件 F(x)=4x+5F'(x) = -4x + 5F(1)=9F(-1) = -9 を満たす関数 F(x)F(x) を求める。

2. 解き方の手順

まず、F(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求める。
F(x)=F(x)dx=(4x+5)dxF(x) = \int F'(x) dx = \int (-4x + 5) dx
F(x)=2x2+5x+CF(x) = -2x^2 + 5x + C
ここで、CC は積分定数である。
次に、F(1)=9F(-1) = -9 の条件を用いて CC を求める。
F(1)=2(1)2+5(1)+C=9F(-1) = -2(-1)^2 + 5(-1) + C = -9
2(1)5+C=9-2(1) - 5 + C = -9
25+C=9-2 - 5 + C = -9
7+C=9-7 + C = -9
C=9+7C = -9 + 7
C=2C = -2
したがって、F(x)=2x2+5x2F(x) = -2x^2 + 5x - 2 となる。

3. 最終的な答え

F(x)=2x2+5x2F(x) = -2x^2 + 5x - 2

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