二次関数 $y = ax^2 + 3x + a$ が常に負の値をとるような、$a$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = ax^2 + 3x + a$ が常に負の値をとるような、$a$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

二次関数 $y = ax^2 + 3x + a$ が常に負の値をとるためには、以下の2つの条件が必要です。

* $a < 0$ （上に凸のグラフであること）

* 判別式 $D < 0$ （$x$軸と共有点を持たないこと）

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で求められます。この問題では、$a = a, b = 3, c = a$ なので、

$D = 3^2 - 4 \cdot a \cdot a = 9 - 4a^2$

$D < 0$ であるためには、

$9 - 4a^2 < 0$

$4a^2 > 9$

$a^2 > \frac{9}{4}$

$a < -\frac{3}{2}$ または $a > \frac{3}{2}$

$a < 0$ かつ $a < -\frac{3}{2}$ または $a > \frac{3}{2}$ を満たす $a$ の範囲は、$a < -\frac{3}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$a < -\frac{3}{2}$