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与えられた条件 $F'(x) = -2x + 3$ と $F(-2) = -3$ を満たす関数 $F(x)$ を求めよ。

解析学微分積分関数不定積分積分定数
2025/4/5

1. 問題の内容

与えられた条件 F′(x)=−2x+3F'(x) = -2x + 3 と F(−2)=−3F(-2) = -3 を満たす関数 F(x)F(x) を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、F′(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求める。次に、F(−2)=−3F(-2) = -3 の条件を使って積分定数を決定する。
ステップ1: F′(x)F'(x) を積分する。
F′(x)=−2x+3F'(x) = -2x + 3 の積分は、
F(x)=∫(−2x+3) dx=−x2+3x+CF(x) = \int (-2x + 3) \, dx = -x^2 + 3x + C
ここで、CC は積分定数である。
ステップ2: F(−2)=−3F(-2) = -3 の条件を使って CC を求める。
F(x)=−x2+3x+CF(x) = -x^2 + 3x + C に x=−2x = -2 を代入すると、
F(−2)=−(−2)2+3(−2)+C=−4−6+C=−10+CF(-2) = -(-2)^2 + 3(-2) + C = -4 - 6 + C = -10 + C
問題文より、F(−2)=−3F(-2) = -3 なので、
−10+C=−3-10 + C = -3
C=−3+10=7C = -3 + 10 = 7
ステップ3: 積分定数 CC を代入して F(x)F(x) を求める。
F(x)=−x2+3x+7F(x) = -x^2 + 3x + 7

3. 最終的な答え

F(x)=−x2+3x+7F(x) = -x^2 + 3x + 7

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